什么是方差？
方差
变异
总体方差
样本方差
离均差平方和（SS) 自由度
例4-1：某医生为研究一种四类降糖新药的疗 效，选择了60名II型糖尿病患者，按完全随机设
计方案将患者分为三组进行双盲临床试验。其 中，降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、 对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治 疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L) 结果如下表：问治疗4周后餐后血糖下降值各组 的平均水平是否不同？
H 0 : m1 m2 mk
2 1
2 2
2 k
2
❖ 假设的意义为，在某处理因素的不同水平下，各样
本的总体均数相等。
• 1.设某因素有g个水平，即试验数据产生g个 样本;每个样本有ni个观测。由多个样本的全 部数据可以计算出总变异，称为总的离均差 平方和。即SS总。
• 2.数理统计证明，SS总可以由几个部分构成。 单因素方差分析中，SS总由组间变异和组内 变异构成。
SS总＝SS组间＋SS组内
• 3.组间变异主要受到处理因素和个体误差两 方面影响，组内变异主要受个体误差的影响。 当H0为真时，由于处理因素不起作用，组间 变异只受个体误差的影响。此时，组间变异 与组内变异相差不能太大。
• 4.各种变异除以相应的自由度，称为均方， 用MS表示，也就是方差。当H0为真时，组 间均方与组内均方相差不大，两者比值F值 约接近于1。即
医学统计学 Medical Statistics
第4章 方差分析
第1节 方差分析的基本思想 第2节 单因素方差分析 第3节 双因素方差分析 第4节 析因设计的方差分析 第5节 重复测量资料的方差分析 第6节 多个样本均数是的两两比较 第7节 多个方差的齐性检验
学习要求
1.掌握方差分析的基本思想； 2.掌握单因素、双因素、两阶段、析因设计
试验数据中存在的变异
总变异（Total variation）
全部测量值Xij与总均数 X 间的差别 ，反映了所有测
量值之间总的变异程度。
SST X X 2
组间变异（ between group variation ） 各组的均数 X i与总均数
X 间的差异。
mi m
SS组间反映了各组均数 Xi 间的变异程度
和重复测量资料方差分析的应用条件、意 义及计算方法； 3.熟悉多个均数间两两比较的意义及方法； 4.了解方差齐性检验的意义及方法； 5.熟悉变量变换的意义和方法。第1节 方差分析的基本思想
• 方 差 分 析 （ analysis of variance ， 缩 写 为
ANOVA）是常用的统计分析方法之一。其 应用广泛，分析效率高，节省样本含量。
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
分析变异
方差比的分布！
F
MS 组间 MS 组内
处理因素变异 误差变异 误差变异
• 基本思想：根据实验设计的类型，将全部 观测值总的离均差平方和及其自由度分解
为两个或多个部分，除随机误差作用外，
每个部分的变异可由某个因素的作用（或
某几个因素的交互作用）加以解释，如组 间变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。 通过比较不同变异来源的均方，借助F分布 作出统计推断，从而推论各种研究因素对 试验结果有无影响。
组内变异 SS ： 组内
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
组间变异 SSB
Sum of squares between groups
X1
X2
X3
X
n1( X1 X )2 n2 ( X2 X )2 n3( X3 X )2
SSBetween ni ( X i X )2
组内变异（within group variation )
每组的原始数据与该组均数 X i 的差异。
在同一处理组内，虽然每个受 试对象接受的处理相同，但测量值 仍各不相同，这种变异称为组内变
异。SS组内仅仅反映了随机误差的 影响。也称SS误差
mi
变异的分解
总变异
组间变异 组内变异
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且 ν总 =ν组间 +ν组内
二、方差分析变异分解过程
❖ 处理因素可分为若干个等级或不同类型，通常称为 水平。在不同的水平下进行若干次试验并取得多个 数据，可以将在每个水平下取得的这些数据看作一 个样本。若某个因素有四个水平，每个水平的数据 代表一个样本，则获得四个样本的数据。
❖设有k个相互独立的样本，分别来自k个正态总体
x1,x2,…xk,且方差相等，即要求检验假设
表4-1 2型糖尿病患者治疗4周后2小时血糖下降量(mmol/L)
分析资料的基本情况
• 处理因素：不同方式给(降糖)药 • 因素水平：降糖新药高剂量组、降糖新药低剂量组、
对照组（公认降糖药物） • 观测指标：餐后2小时血糖下降值 • 目 的：通过比较不同组给药方式后餐后2小时血
糖下降值存在的差异，从而判断不同剂量新药和对 照药物治疗2型糖尿病患者的疗效是否相同。
一、方差分析的用途及应用条件
• 主要用途 ①进行两个或两个以上样本均数的比较； ②可以同时分析一个、两个或多个因素对试
验结果的作用和影响； ③分析多个因素的独立作用及多个因素之间
的交互作用； ④进行两个或多个样本的方差齐性检验等。
• 应用条件
方差分析对分析数据的要求及条件比较严 格，即要求各样本为随机样本，各样本来 自正态总体，各样本所代表的总体方差齐 性或相等。
F＝组间均方／组内均方≈1。
• 5.当H0不成立时，处理因素产生了作用，使 得组间均方增大，此时，F＞＞1，当大于 等于F临界值时，则P≤0.05可认为H0不成立， 各样本均数不全相等。
三、方差分析的类型
1. 单因素方差分析（one-way ANOVA）:也称 为完全随机设计(completely random design)的 方差分析。该设计只能分析一个因素下多个 水平对试验结果的影响。