SS总
k
i 1
ni
(
j 1
xij
x)2
x 2
(x)2
/
n
总 n1
总变异=方差=SS总/ν总 2 ( X )2 s2 ( X X )2
N
n1
10
（2）组间变异及自由度
方差分析基本思想
组间变异：4组家兔血清ACE浓度的均数各不相同
原因：处理因素、个体差异和随机测量误差
x 组间离均差平方和为各组样本均数( xi )与总均数( )
3
方差分析的提出
❖ 为了有效地控制Ⅰ型错误，多 个样本均数比较时不宜用 t 检 验和 u 检验，而宜用方差分析。
❖ 方差分析(analysis of variance， ANOVA)由英国统计学家 R.A.Fisher首先提出，以F命名 其统计量，故方差分析又称F 检验。
4
一、方差分析的基本思想
( xi )差值的平方和之和。
k ni
SS组内
i 1
(
j 1
xij
xi
)2
组内＝n k
组内变异=MS组内=SS组内/ν组内
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三种“变异”之间的关系
数理统计证明：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
13
均方之比＝F value
方差分析的检验统计量：F MS 组间 / MS 组内
H0：各组样本的总体均数相等； H1：各组样本的总体均数不等或不全相等； 如果H0 成立，即各处理组的样本来自相同的总体，无 处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反 映随机误差作用的大小。 F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大， 拒绝H0的理由越充分。 数理统计理论证明，当H0成立时，F统计量服从F分布。
差值的平方和，反映了各组均数间的变异程度。
k
SS组间
i 1
ni
( xi
x)2
SS组间
k
(
ni
j 1
xij )2
n i1 i
C
组间变异=MS组间=SS组间/ν组间
组间 k 1
11
（3）组内变异及自由度
方差分析基本思想
组内变异：组内不同家兔血清ACE浓度各不相同 原因：个体差异和随机测量误差
组内离均差平方和为各处理组内观察值与其均数
F MS 组间 / MS 组内
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★方差分析的应用条件
多个样本均数比较的方差分析应用条件为 ①各样本是相互独立的随机样本； ②各样本来自正态分布总体； ③各总体方差相等，即方差齐。
18
★方差分析的用途
①两个或多个样本均数间的比较； ②分析两个或多个因素间的交互作用； ③回归方程的线性假设检验； ④多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验。
7
方差分析基本思想
方差分析
以完全随机设计资料为例说明各部分变异的计 算方法。 将n个受试对象随机分为 k 组，分别接受不同 的处理。 归纳整理数据的格式、符号如下表：
8
完全随机设计资料的数据格式与符号
x ij
合计
1
x 11 x12
…
x 1n1
n1
j 1
x1
j
处理组 i
2
3 …k
x 21
x 31
…
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二、完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计(completely random design)资料的 方差分析，亦称单因素方差分析(one-way ANOVA)。 应用：用于完全随机设计的多个样本均数比较 的资料。 研究目的：分析不同处理因素间或某处理因素 不同水平间有无差异，不考虑个体差异的影响。
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F 分布曲线
1.4 f( F)
1.2
1 1, 2 5
1.0
0.8
1 5, 2 5
0.6 0.4
1 10, 2 10
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
P 值的判断
以完全随机设计的方差分析为例，设 0.05， 1 组间 ， 2＝ 组内 ，以 1 、 2 查 F 界值表：
F F0.05(1, 2 ) ， P 0.05 F F0.05(1, 2 ) ， P 0.05
25.46 38.79 13.55 19.45 34.56 10.96 48.23
329.92 372.59
229.17 191.00
6 54.99
6 62.10
7 32.74
7 27.29
18720.97 23758.12 8088.59 6355.43
1122.68( x )
26( n )
43.18( x ) 56923.11( x 2 )
方差分析
统计资料分析思路
资料分析
分类变量资料
统计描述
数值变量资料
统计推断 统计描述
指标描述 图表描述
统计推断
参数估计
u 、t检验
假设检验 方差分析
2
方差分析的提出
t 检验和 u 检验适用于两均数的比较。若多个样
本均数的比较仍用 t 检验或 u 检验时，需比较
次
(
k 2
)
k!/[2!(k
2)!]
，如4个样本均数需比较
(42 ) 4!/[2!(4 2)!] 6 次。
假设每次比较的检验水准 0.05 ，则每次检
验拒绝 H0 时不犯Ⅰ型错误的概率为 1- 0.05 = 0.95；那么6次检验均不犯Ⅰ型错误的
概率为 (1 0.05)6 0.7351，而犯Ⅰ型错误的概
率为0.2649。
基本思想 应用条件 用途
5
方差分析基本思想
例 某军区总医院欲研究A、B、C 3种降血脂药物 对家兔血清肾素-血管紧张素转化酶（ACE）的影 响，将26只家兔随机分为4组，均喂以高脂饮食， 其中3个实验组，分别给予不同的降血脂药物， 对照组不给药。一定时间后测定家兔血清ACE浓 度（u/ml），问4组家兔血清ACE浓度是否相同？
6
表 5-1 对照组及各实验组家兔血清 ACE 浓度（U/ml）
ni
j 1
xij
ni
xi
ni
j 1
xi2j
对照组
61.24 58.65 46.79 37.43 66.54 5脂药 C 降脂药
82.35 56.47 61.57 48.79 62.54 60.87
26.23 46.87 24.36 38.54 42.16 30.33 20.68
x k1
x 22
x 32
…
xk2
…
………
x 2n2
x 3n3
…
x knk
n2
j 1
x
2
j
n3
nk
j 1
x3
j
…
j 1
x
kj
ni
n1
n2
n3
…
nk
9
（1）总变异及自由度
方差分析基本思想
总变异：26只家兔的血清ACE浓度不尽相同 原因：处理因素、个体差异和随机测量误差 总变异的离均差平方和(sum of squares, SS )为各变 量值与总均数差值的平方和。
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★方差分析的基本思想
按研究目的和设计类型，将总变异的离均差平方
和SS和自由度分别分解成若干部分，并求得各
相应部分的变异；其中的组内变异或误差主要反 映个体差异或测量误差，其它部分的变异与之比 较得出统计量F值，由F值的大小确定P值，并做
出统计推断。SS总 SS组间 SS组内 总 组间 组内