MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
二、F 值与F分布
如果各组样本的总体均数相等（H0： 1 2 … k ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，，则组
间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间 均方与组内均方的比值称为 F 统计量
F MS组间 MS组内
5
单向方差分析
One-way analysis of variance
第一节 方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的 来源分解为多个部份，然后进行比较，评价 由某种因素所引起的变异是否具有统计学意 义。
6
一、离均差平方和的分解
组间变异 组内变异
总变异
7
对于实例（完全随机设计） 资料，共有三种不同的变异
下面用离均差平方和(sum of squares of
deviations from mean，SS)反映变异的大小
8
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
a ni
SS总 Yij Y
2
a
Y ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N1)S2
i, j
总 N 1
a ni
480 20.0
j Yij2
2233.0 4790.0 2162.0 1431.0
10616.0
四种解毒药的解毒效果是否相同？
4
一 个 因 素 （ f a c t o r ）： 解 毒 药 四 个 水 平 （ l e v e l ）（ a = 4 个 处 理 组 ）： A 、 Ｂ 、
Ｃ 、 空 白 对 照 D， i=1,2,3,4 分 别 代 表 A、 B、 C、 D 每 水 平 有 ni=６ 只 大 白 鼠 ， 分 别 表 示 为 j=1,2,…,6 应 变 量 用 Yij 表 示 ， 即 第 i 组 第 j 号 大 白 鼠 的 血
SS总 = SS组间 + SS组内，
且 ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSB
1. 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与
总均数 Y 20.0 间的差异
2. 组间变异（ between group variation ）：各
组的均数 Y i 与总均数 Y 间的差异
3. 组内变异（within group variation )：每组的
每个测量值Yij与该组均数 Y i 的差异
+
Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSW
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值Yij与其所在组的均数差值的
平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为
SS组内
a
ni
(Yij
Yi ) 2
i 1 j 1
a
(ni
1)
S
2 i
i 1
组内 Na
三种“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
4/9/2020
1
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断多 个总体均数有无差异
2
基本概念
因素也称为处理因素（factor）（名义分类变量），每一处 理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。
组号 i
胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij)
ni
j Yij
1 23 12 18 16 28 14
6
111
Yi
18.5
2 28 31 23 24 28 34
6
168 28.0
3 14 24 17 19 16 22
6
112 18.7
4
8 12 21 19 14 15
6
8 14.8
9
合计 73 79 79 78 86 85 24
Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其 自由度 有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称 均方 (mean square ，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
一个因素（水平间独立）
——单向方差分析
两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析
一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析
ANOVA与回归分析相结合——协方差分析
目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均
数的差别有无统计学意义。
3
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml)
中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml) 按 完 全 随 机 化 设 计 方 法 将 Ｎ ＝ 24 只 动 物 随 机 等
分成４个组 （ 将 动 物 编 成 1~24 号 ， 用 计 算 器 （ 机 ） 对 每
一个动物产生一个随机数，然后按随机数从小到 大的顺序排序，前面 6 个动物分为第一组，紧接着的 6 个 动 物 分 成 第 二 组 ， …）
1
组间 ， 2 组内
F 值接近于 l，就没有理由拒绝 H0；反之，F 值越大，拒绝 H0 的理由越充分。数理统计的理论证明，当 H0 成立时，F 统计量服从 F 分布。
(Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
2．组间变异：各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为
a
a
ni
(
Y)2 ij
SS组间 ni(Yi Y)2Leabharlann i1i1j1
ni
C
组间 a 1
SS组间反映了各组均数 Y i 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
3．组内变异：在同一处理组内，虽然每