初三数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

解：5、中考点拨：例1。

因式分解322x x x ()()---解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：412132q p p ()()-+-解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三：1、分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（） A. 2100 B. -210C. -2D. -13. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()()完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：3. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：5、中考点拨：例1：因式分解：x xy 324-=______________________。

说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=______________________。

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++= 证明：说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解：说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

举一反三：1. 分解因式：（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+-（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-2. 已知：x x+=-13，求x x 441+的值。

3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求（1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。

因式分解练习题1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_________。

2、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 3、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 4、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=_______。

()22)3(__6+=++x x x ()22)3(9___-=++x x ，5、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

6、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是____________。

7、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =____________。

8、若6,422=+=+y x y x 则=xy _______________。

9、方程042=+x x ，的解是____________________。

二、选择题：（10分）1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x--+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个 ，D 、4个4、计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ）A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）1 、234352x x x --2 、 2633x x -3 、22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +--5、x x -56、13-x7、3ax 2+6axy+3ay 28、811824+-x x 9 、24369y x -四、代数式求值（15分）1、 已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值3、 已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值五、计算： （15）（1） 66.24366.3⨯-⨯ （2） 200020012121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-（3）2244222568562⨯+⨯⨯+⨯六、试说明：对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。