面
上
的
全
部
极
点
即：
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C内 部 的 全 部 极 点
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C外 部 的 全 部 极 点
10
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
1. 线性：若 x(n) X (Z) y(n) Y(Z) 且 ROC x ROC y 则 ax(n) by(n) aX(Z) bY(Z)
z
X
2(z)
x2
n
(n)z n
1
(an
)z
n
n
m1
(a 1 z ) m
n0
z a
n
z a
0
1
n0
z a
n
1
1
1 (z
a)
z za
z 1 or ROC : z a
a
2
可见：ROC是以 z 为半径的圆形区域、以奇点为边界。
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
讨论：序列与其ZT的收敛域的对应关系
x(n m) Z m X (Z )
k0
（Roc在Z 0,处可能有变化）x(m), x(m 1),...x(1) 13
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
3. 频域卷积/序列相乘定理
设 x(n) X (Z ) RX1 Z RX 2 y(n) Y(Z ) RY1 Z RY 2
（Z a 处零极点相消 Roc : Z 0 ）
11
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
2. 位移性：若 x(n) X (Z) 则 x(n m) Z m X (Z )
事实上，
Z[x(n m)]
x(n
m)
z
n
n
m
k
x(k)z
k
m
Z
m
X
(Z
)
n
k
注：ROC可能增加一个极点：左移时为z = 右移时为z = 0 或，增加一个零点：左移时为z = 0右移时为z =
(1) n1 n
n1
n
( 1)
由 az1 1 得 X (z) (1)n1an z n
n1
n
显然 x(n) (1)n1 an u(n 1) (a)n u(n 1)
n
n
6
§4.2 Z逆变换
2、部分分式展开（后根据ROC及公式变换）法
若X(Z)= N(Z)/D(Z)为有理函数：利用已知变换公式
anu(n) Z (Roc: Z a) Z a
anu(n 1) Z (Roc: Z a) Z a
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
N (Z ) D(Z )
X 2 (Z )
Z Z
a
Z Za
Z 1
Z 1 Z a
(Z a)
Z
Y(Z) X1(Z)X2(Z) Z a
(Z a)
则 y(n) anu(n) （ Z 1 处极点被零点抵消）
15
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
5. 复频域微分 / Z域微分：
nf (n) Z d F(Z ) dZ
且 x(n) X (Z)
则 x(0) lim X (Z ) Z
（证明自习）
18
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
8. 终值定理：
若 x(n 0) 0（ x(n)为有始/因果序列）
且 x(n) X (Z)，又 lim x(n) 存在 n
则 lim x(n) lim(Z 1)X (Z )
1. s 与 z 的映射关系：
Ts
2 s
Z esTs eTs e jTs Z e j
当 任意时，s 与 z 的映射出现多值性，将不一一对应。
n
2
时、频能量相等
20
e j e j2 s以 s 为周期
§4.4 Z变换与LT变换的关系
1. s 与 z 的映射关系： z esTs eTs e jTs z e j
其中：
z
eTs
2
e s
Ts
2 s
j
s
Z
0
01
21
e j e j2 s以 s 为周期 §4.4 Z变换与LT变换的关系
注意到：是对
Z
做部分分式展开
由ROC确定各分式对应左边或右边序列 代入公式得 x(n)7
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
[x(公n)式 ]1 X (Z)Z n1dZ
2j C
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
X (Z)Z n1 在一阶极点 Zi 处的留数公式：
n
Z 1
注：“ lim x(n) 收敛”等价于“lim(Z 1)X (Z)
n
Z 1
判最
收敛”定 实
条用 件的
等价于
Z 1 ROC /的极点均在单位圆内
（X(z)在单位圆上解析 仅可有一个一阶极点 z=1 ）19
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
9. 帕斯瓦尔定理：
若 x(n) X (Z ) y(n) Y(Z)
证明：x*(n) 的Z变换是X* (z*)。
9
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
为简化 n 阶极点留数运算 引入 [留数辅助定理]
设：F(z)在z平面上有有限个极点，且
lim F (z) 0
z
（不低于二阶的无穷小）
则：
L
F (z)dz
0
L：闭合曲线
or
ResF
(
z
)在z平
X (z) x(i)Z (i) x(i 1)Z (i 1) x(i 2)Z (i 2) Roc为某圆内时，x(n)为左边序列， X(Z)级数应升幂排列
X (z) x(i 2)Z (i 2) x(i 1)Z (i 1) x(i)Z (i)
例：设 X (z) z ，分别求出
则
(a)n
f (n)
u(n 1)
n
16
§4.3
f
(n)
(a)n1u
(n
1)
F
(v)
1
v 1 av1
Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
6. 复频域积分
f (n) Z F (v)v 1dv
n
特别地 lim f (n) f (0) 0时 存在
n0 n
(a)n
例：求 n u(n 1) ?
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
2j
c
1
X (Z ) x(n)Z n n
2 （可看做以 为变量的卷积）
（证明自习）
14
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
4. 时域卷积定理
x(n) y(n) X (Z)Y(Z) （证明自习）
例：求以下二序列的卷积和，
x1(n) u(n) x2(n) anu(n) an1 u(n 1)
解：
X1(Z )
Z Z 1
( Z 1)
4（1、3、6、8、10）、5、6、7 、9、10 、11、13 思考题 1. 单位圆上极点对应的逆Z变换一定是等幅震荡吗？单
位圆外极点对应的逆Z变换一定是增幅震荡吗？ 2. 若x(n)为x(0)≠0的因果序列，
则X(z)在 z = 0或 z = ∞处有极点吗？又，有零点吗？ 3. 已知X(z)为x(n)的Z变换，
解： (a)
(a)n1
u(n
1)
a
f (n) (a)
Z
F (v)v 1dv
n
n
Z v2
(a) 1 av1dv
Z
d (av1) 1 av1
ln(1
av1)
Z
ln(1
az 1 )
ln1
17
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
7. 初值定理：
若 x(n 0) 0（x(n) 为有始/因果序列）
za
当 RCO: z a 和 ROC: z a 时的 x(n)
5
§4.2 Z逆变换
1、（根据ROC ）幂级数展开（长除法，幂级数展开法）
幂级数展开法： （当X(Z)为特殊无理函数时）
例：已知 X (z) lg(1 az1)(ROC: z a) 求 x(n)
解： 利用已知的泰勒公式
lg(1 )
则 x(n) y(n) 1 X (Z )Y (1 Z)Z 1dZ
n
j2 C
特别地，当X(z)Y(z)收敛域包含单位圆，可令 Z e j
得：
x(n) y(n)
1
X (e j )Y (e j )d
n
2
特别当 x(n) y(n) ，上式即DTFT的帕斯瓦尔定理
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
第四章 Z变换
§4.1 Z变换及收敛域 1.定义
[定义]直接由序列给出（满足收敛条件时）