n 1
1 /(4 z )( z )] 1 4 z 4
4
1 n 1 ( ) 4
1 1 4 4 n , n 1 4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
Z 1[ X k ( z )]
部分分式展开法计算过程
i b z i M
B( z ) X ( z) A( z )
M N n 0
1 ai z i
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为
X ( z)
n


x ( n) z n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域 (ROC) n x ( n ) z M < 绝对可和 充要条件:
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
,
1 < z <4 4
，求z反变换。
j Im[ z ]
X ( z ) z n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
0
1/4 c 4
Re[ z ]
1）当n≥-1时, z 在z=0处不会构成极点，此时C内 只有一个一阶极点 z r 1 。
n 1
x(n) Res[ z
x1 (n) a nu(n) x2 (n) a nu(n 1)
解：
X1 ( z ) a z
n 0 1

n n

1 1 az 1 1 1 az 1
z a
z <a
X 2 ( z)
n

a z
n n
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
1 x(n) - Res[ z /(4 z )( z )]z 4 4 1 1 n 1 n 2 (4) 4 4 , n 2 4 15
n 1
1 n 4 , 15 因此， x ( n ) 1 4n 2 , 15
若n 2 0 :
若n 2 0 :
n

n2
x ( n) z
z < R
n
Im z ROC
R x+
Re z
0 < z < R
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X ( z)
n


x ( n) z
n
Im z ROC
ROC R < z < R
R
x-
Re z
R
x+
序列 z 变换
z变换的定义与收敛域 z反变换 z变换的性质与定理 z变换与 Laplace, Fourier变换
z变换的定义及符号表示
z变换 z反变换
X ( z)
n


x ( n) z n
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz c 2 πj
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线 物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合 符号表示 正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)} z 或 x(n) X ( z)
z反变换
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 留数法
部分分式法
长除法
z反变换
1.留数法
罗朗级数公式：
若：X ( z )
n n x ( n ) z ,
Rx < z < Rx
j Im[ z ]
1 n 1 则：x (n ) X ( z ) z dz, c ( Rx , Rx ) c 2j
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想 将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
B( z ) X ( z) X1 ( z ) X 2 ( z ) A( z )
X k ( z)
x(n) Z 1[ X1 ( z)] Z 1[ X 2 ( z )]
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
Rx
0
Re[ z ]
Rx
cLeabharlann Z反变换为计算围线积分，由留数定理可知：
1 2 j 1 2 j
c c
X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
zk
为c内的第k个极点， z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分 母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。
Z反变换
• 留数的求法：
(1)当Zr为一阶极点时的留数
Res[ X ( z ) z
n 1
]Z Zr [( z zr ) X ( z ) z
ROC也可能包含0或∞点
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X ( z)
n n1


x ( n) z
n
Im z ROC
R
x-
若n1 0 :
z R
Re z
若n1 < 0 : R < z <
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
X ( z)
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
X ( z)
n n1

n2
x ( n) z n
(1) n1 <0, n 2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1 <0, n 2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n 2 >0时，ROC： 0 < z
n 1
] z zr
(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数
n 1
Res[ X ( z ) z
] z zr
1 d l n 1 [( z zr ) X ( z ) z ]z zr l 1 (l 1)! dz
l 1
例： 已知
X ( z)
z2 1 (4 z )( z ) 4