但是，一个离散函数f*(t)所对应的连续函数却不是 唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连 续时间函数x (t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相 同的z变换，即

Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs

lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
证明：由Z变换定义 Z[eat x(t)] eakT x(kT)z k k 0

x(kT)(eaT z)k k 0
X (eaT z)
举例：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换
解：令x(t)=t，查附表B知
Re s[F(s)
z z eTs
]ssi

lim
ssi
[(
s

si
)
F
(
s)
z z eTs
]
若F (s)
z
z eTs
有ri重极点Si，则
Re s[F(s)
z z esT
]ssi

(ri
1 lim
1)! ssi
d ri 1[(s si )ri F (s) dsri 1


ax1 (kT)z k bx2 (kT)z k
k 0
k 0


a x1 (kT)z k b x2 (kT)z k
k 0
k 0
aX1 (z) bX 2 (z)
2）实数位移定理又称平移定理
实数位移含义，是指整个采样序列在时 间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左 平移为超前，向右平移为延迟。
例8-4：求f (t)=sinωt的Z变换。
解：
1 1
F(s) 2 j 2 j s2 2 s j s j
s
Ai
j
的原函数为
Ai e
pit，其Z变换为
1
Ai z 1e
jT
1
1
F
(
z)

1

2j z 1e
jT

1

2j z 1e
jT
(sin T )z1 1 (2 cosT )z1 z2
7）卷积定理
若 Z[x1(t)] X1(z) 则有： Z[x2 (t)] X 2 (z)

X1(z) X 2 (z) Z[ x1(nT )x2 (kT nT )] n0
证明：根据Z变换的定义：

X1 (z) x1 (kT)z k k 0

X 2 (z) x2 (kT)z k k 0
例8-3：求F(s) 1 的Z变换 。 s(s 1)
解：将F (s)按它的极点展开为部分分式
F(s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
查z变换表得：1的z变换为 z ;
s
z 1
s
1
的z变换为 1
z
z e
T
于是z变换为F (z)
z
z 1

z
z eT

z(1 eT ) (z 1)(z eT )
5）初值定理
若Z[x(t)]=X(z) ，且当t<0时， x(t)＝0 则
x(0) lim X (z) z
6）终值定理 若Z[x(t)]=X(z) ，且(z－1)X(z)的全部极点位
于Z平面的单位圆内，则
x() lim (z 1)X (z) z1
举例：设Z变换函数为 E(z)
f (kT)z k
是相互补充的两种变换形式，前者表示s平面 上的函数关系，后者表示z平面上的函数关系。

应该指出，式 F (z) f (kT)zk 所表示的z变换
只适用于离散函数。 k0
人们习惯上称 F(z)是f(t)的z变换,指的是经过采样后 f*(t)的z变换。采样函数f*(t)所对应的z变换是唯一的， 反之亦然。


x1 (nT )[ x2 ((k n)T )z (kn) ]z n
n0
k 0


x1 (nT )x2 (kT nT )z k
n0 k0

[ x1 (nT )x2 (kT nT )]z k k0 n0

Z[ x1(nT )x2 (kT nT )] n0


f *(t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k 0
k 0
离散信号的拉氏变换为

F * (s) f (kT)ekTs k 0
上式中各项均含有eksT 因子，为便于计算定 义一个新变量z= esT ， 其中T为采样周期，z是复
数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。
X
(z)

Z
(t)

Tz (z 1)2
根据复数位移定理，有
X (ze aT ) Z[teat ] T (ze aT) (ze aT 1)2
Tze aT (z eaT )2
4）复数微分定理 若 Z[x(t)]=X(z)，则 Z[tx(t)] Tz dX (z) dz

z
1

e
2aT z
ze2aT


ekaT z k
综上分析可见，通过级数求和法求取已知函 数Z变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。
2) 部分分式法
设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以 展开成部分分式的形式，即
n
F(s)
Ai
i1 s pi
1) 级数求和法
由离散函数


f *(t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k 0
k 0
及其拉氏变换， F * (s) f (kT)ekTs k 0
根据z变换的定义有：

F(z) f (kT)zk f (0) f (T)z1 f (2T)z2 f (kT)zk

F (z) f (kT)zk 11 z1 1 z2 k 0
1 zk

1 1 z1

z
z 1
z 1
例8-2：试求函数 f(t)=e-at 的z变换。

F
(
z)

1k
0
f1(kT) z e1 aT
z k
1z eaT z eaT
F(z) 2 0.5z 1 1.25z 2 0.875z 3
§8.4 Z变换
通过前面对线性连续系统的讨论我们知道， 线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用 拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。线性 采样系统中包合离散信号，用差分方程来描述， 同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。
z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。
8.4.1 Z变换定义
设连续时间函数f(t)可进行拉氏变换，其拉氏 变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采 样开关后，变成离散信号f*(t)
z esT s 1 ln z T
得到以z为自变量的函数F(z)

F (z) f (kT)zk k 0
若所示级数收敛，则称F(z)是f*(t)的z变换。记为
Z[f*(t) ]= F(z)
F * (s)
1 T

F[s
n
jns ]与F (z)
k 0
式中pi为F（s）的极点， Ai为常系数。
Ai s pi
对应的时间函数为Ai e pit 其Z变换为
Z Ai Z e piT
可见，f（t）的Z变换为：
n
Z
F(z)
i 1
Ai Z e piT
利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续 时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式 函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或 查表）给出每一项相应的z变换。
(m n)
1 a1z 1 a2 z 2 an z n
其中ai ，bj均为常系数。通过对上式直接作综
合除法，得到按 z-1升幂排列的幂级数展开式如果
得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义可知上
式中的系数 fk （k=0，1，…） 就是采样脉冲序列 f *(t)的脉冲强度f(kT）。