导数微积分公式
导数、微分、积分公式总结
【导数】
（1）（u ± v）′＝u′±v′
（2）（u v）′＝u′v＋ u v′（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前）
╭ｕ╮′u′v－ u v′
（4）│——│＝———————（ v ≠ 0 ）
╰ｖ╯v²
【关于微分】
左边：d打头
右边：dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有：
（1）d（u ± v）＝ du ± dv
（2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv
╭ｕ╮du·v － u·dv
（3）d│——│＝———————（ v ≠ 0 ）
╰ｖ╯v²
（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）
dy
——＝f′（u）·φ′（x）
dx
其中y ＝ f（u），u ＝φ′（x）
（6）反函数的导数：
1
[ fˉ¹（y）]′＝—————
f′（x）
其中，f′（x）≠ 0
【导数】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的导数：
（c）′＝ 0
（2）x的α次幂：
╭【α】╮′【α － 1】
│ｘ│＝αｘ
╰╯
（3）指数类：
╭【x】╮′【x】
│ａ│＝ａ lna（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰╯
╭【x】╮′【x】
│ｅ│＝ｅ
╰╯
（4）对数类：
╭╮′ 1 1
│logｘ│＝——log ｅ＝———（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰a╯ x a xlna
1
（lnx）′＝——
x
（5）正弦余弦类：
（sinx）′＝ cosx
（cosx）′＝－sinx
【微分】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的微分：
dC ＝ 0
（2）x的α次幂：
【α】【α － 1】
dｘ＝αｘdx
（3）指数类：
【x】【x】
dａ＝ａ lnadx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
【x】【x】
dｅ＝ｅ dx
（4）对数类：
1 1
dlogｘ＝——log ｅ＝———dx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
a x a xlna
1
dlnx ＝——dx
x
（5）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx
dcosx ＝－sinxdx
【导数】
（6）其他三角函数：
1
（tanx）′＝————＝ sec²x
cos²x
1
（cotx）′＝－————＝－csc²x
sin²x
（secx）′＝ secx·tanx
（cscx）′＝－cscx·cotx
（7）反三角函数：
１
（arcsinx）′＝———————（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
（arccosx）′＝－———————（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√1－x²
１
（arctanx）′＝—————
1＋x²
１
（arccotx）′＝－—————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函数：
1
dtanx ＝————＝ sec²xdx
cos²x
1
dcotx ＝－————＝－csc²xdx
sin²x
dsecx ＝ secx·tanxdx
dcscx ＝－cscx·cotx dx
（7）反三角函数：
１
darcsinx ＝———————dx（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
darccosx ＝－———————dx（－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
１
darctanx ＝—————dx
1＋x²
１
darccotx ＝－—————dx
1＋x²
导数的应用（一）——中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导。

则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ξ ＜ b ），使得
f（b）－ f（a）
f′（ξ）＝————————
b － a
【罗尔定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）＝ f（b）。

则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ξ ＜ b ），使得f′（ξ）＝0。

导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）
【单调性】
（1）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＞ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调增加；
（2）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＜ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调减少。

【极值】
若函数f（x）在点x₁处可导，且f（x）在x₁处取得
极值，则f′（x₁）＝ 0 。

导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图）
【凹向】
设函数y ＝ f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数，
（1）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＞ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内上凹；
（2）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＜ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内下凹。

【拐点】
曲线上凹与下凹的分界点。

第一类：常数的积分
∫0dx ＝ C
∫dx ＝ x ＋ C （1的积分）
∫kdx ＝ kx ＋ C
第二类：x的α次幂的积分
【α】 1【α＋1】
∫x dx ＝——— x＋ C（α ≠ 1）
α＋1
第三类：倒数的积分【注意：绝对值】
1
∫——dx ＝ ln|x| ＋ C （x ≠ 0）
x
第四类：指数的积分
【x】 1【x】
∫a dx ＝——— a＋ C（a ＞ 0 ，a ≠ 1）
lna
【x】【x】
∫e dx ＝ e＋ C
第五类：三角函数的积分
∫sinxd x ＝－cosx ＋ C
∫cosxdx ＝ sinx ＋ C
∫tanxdx ＝－ln|cosx| ＋ C【选记】
∫cotxdx ＝ ln|sinx| ＋ C【选记】
∫sec²xdx ＝ tanx ＋ C
∫csc²xdx ＝－cotx ＋ C
第六类：结果为反三角函数
1
∫————dx ＝ arcsinx ＋ C ＝－arccosx ＋ C₁ /￣￣￣
√ 1－x²
1
∫————dx ＝ arctanx ＋ C ＝－arccotx ＋ C₁1＋x²。