全等三角形的构造方法
全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。

判断三角形全等公理有SAS ASA AAS SSS和HL,如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

构造方法有：
1 .截长补短法。

2•平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线, 对Rt△,有时可作出斜边的中线。

3. 旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造
全等三角形。

4. 倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将
分散条件集中在一个三角形内。

5. 翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，
沿轴翻转图形来构造全等三角形。

下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考.
1. 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法.“补短
法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然
后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.
例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C=90，BC=AC AD平分/ BAC交BC
于D,求证：AB=AC+CD
例2 已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF
EF 交BC于点D.求证：DE=DF
E
（2）已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D,且D为EF的中点.
求证：BE=CF
例3（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，JABC是边长为1的正三角形，
BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在
AB、AC上，求JAMN的周长.
1.如图已知：正方形ABCD^,Z BAC
的平分线交BC于E,
求证：AB+BE=AC
2.（06年北京中考题）已知.ABC中，/A =60’ , BD、CE分别平分ZABC和上ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.
说明：⑴本题也可以在
AB 截取AD=AQ 连0D 构造全等三角形，即“截长补短
法"•
⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
①
如图（2）,过0作OD BC 交AC 于。

，则厶AD3A ABO 来解决. ② 如图（3）,过O 作DE// BC 交AB 于D,交AC 于 E,则厶ADO^^ AQO △ ABO^A AEO 来 解决.
③
如图（4）,过P 作PD// BQ 交AB 的延长线于。

，则厶APD^A APC 来解
决.3.已知：如图，ABCD 是正方形，/ FAD =
/ FAE 求证：BBDFAE
C
④如图（5）,过P作PD// BQ交AC于。

，则厶ABP^A ADP来解决.
（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）
3.旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形
例.已知：如图（6）, PABC内一点，且PA=3 PB=4 PC=5
求/ APB的度数.
分析：直接求/ APB的度数，不易求，由PA=3 PB=4 PC=5
联想到构造直角三角形.
4.倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在个三角形内。

例1 .如图（7）人。

是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE
求证：AC=BF
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形.
例1 .如图（8）已知：在厶ABC中，/ A=45o, AD丄BC,若BD=3 DC=2
求：△ ABC的面积。