一次函数综合提高练习题（附详解）1．如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．（1）求这条直线的函数表达式；（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC= 25，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC 扫过的面积．2．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W最大，并求出最大利润．3．如图，直线y=4－x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D。

(1)当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长为________；(2)当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a (0<a≤4)，在平移过程中：①当平移距离a=1时, 正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为________；②当平移距离a是多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成l：3两个部分?4．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元(1) 求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2) 商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润5．为支援四川抗震救灾，某省某市A、B、C三地分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾区的甲、乙两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往甲县的数量比运往乙县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往甲、乙两县的数量各是多少吨？（2）若要求C地运往甲县的赈灾物资为60吨，A地运往甲县的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往甲县的赈灾物资数量少于A地运往甲县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往乙县，且B地运往乙县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往甲、乙两县的方案有几种？（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往甲、乙两县的费用如表：A地B地C地运往甲县的费用（元/220 200 200吨）运往乙县的费用（元/250 220 210吨）为及时将这批赈灾物资运往甲、乙两县，某公司主动承担运送这批物资的总费用，在（2）的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？6．已知点A（6，0）及在第一象限的动点P（x，y），且2x+y=8，设△OAP的面积为S．（1）试用x表示y，并写出x的取值范围；（2）求S关于x的函数解析式；（3）△OAP的面积是否能够达到30？为什么？7．孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．8．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y，图中的折线表示y与x之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为千米；图中点B的实际意义是；（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？9．货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）参考答案1．（1）3y x =--；（2）40【解析】（1）∵ OM=ON=3∴ M（3，0），N （0，3）设()0y kx b k =+≠则有 30{3k b b -+==- 解得 1{3k b =-=- ∴直线的函数表达式为3y x =--（2）∵A （1，0），B （3，0） ∴AB =2∵∠ABC =90° ∴BC =()222524-=∴C （3，4）因AC 平移后点C 落在直线对l 上，所以对3y x =--令4y =得7x =-即点C 平移到了点（7，4），AC 向左平移了10个单位∴S=10×4=402．（1）y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+，自变量x 的取值范围是x =1或x =2或x =3；（2）获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果． 试题解析：（1）∵()8101110100x y x y ++--=，∴ y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+．∵ y ≥1，解得x ≤3．∵ x ≥1， 10x y --≥1，且x 是正整数，∴ 自变量x 的取值范围是x =1或x =2或x =3．（2）()80.22100.2111100.20.1421W x y x y x =⨯+⨯+--⨯=-+．因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，此时20.86W =（万元）．获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果． 3．（1）8；（2）①3.5；②a 2或4-2试题解析：（1）（1）设OC =x ，则CM =4-x ．∵MC ⊥OA ，MD ⊥OB ，OD ⊥OC ，∴四边形OCMD 为矩形，∴四边形OCMD 的周长=OD+OC+CM+DM =2（CO+CM ）=2（x +4-x ）=2×4=8．（2）①如图（ 2 ），当0＜a ≤2时，S=S 四边形O′CMD -S △MEF =4-12a 2=-12a 2+4， ②∵当四边形为OCMD 为正方形时，OC=CM ，即x =4-x ，解得：x =2，∴S 正方形OCMD 的面积=4．∵正方形OCMD 的面积被直线AB 分成1：3两个部分，∴两部分的面积分别为1和3．当0＜a ≤2时，如图1所示：∵直线AB 的解析式为y =4-x ，∴∠BAO =45°．∴△MM′E 为等腰直角三角形．∴MM′=M′E ．∴12MM′2=1． ∴MM ′=2，即a =2当2＜a ＜4时，如图2所示：∵∠BAO =45°，∴△EO′A 为等腰直角三角形．∴EO′=O′A ．∴12O ′A 2=1，解得：O′A =2． ∵将y =0代入y =4-x 得；4-x =0，解得：x =4，∴OA =4．∴OO ′=4-2，即a =4-2．综上所述，当平移的距离为a =2或a =4−2时，正方形OCMD 的面积被直线AB 分成1：3两个部分． 4．(1) 甲种商品每件的进价为30元，乙种商品为70元;(2) 购进甲种商品80件，则购进乙种商品20件时获利最大,为1200元.试题解析：(1) 设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元23270{32230x y x y +=+=，解得30{70x y == 答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品为70元(2) 设该商场购进甲种商品m 件，则购进乙种商品(100－m )件，利润为wm ≥4(100－m )，解得m ≥80利润w ＝(40－30)m ＋(90－70)(100－m )＝－10m ＋2000∵k ＝－10＜0∴w 随m 的增大而减小当m ＝80时，w 有最大值为12005．（1）这批赈灾物资运往甲、乙两县的数量分别是180吨、100吨．（2）见解析；（3）该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是60390元．【解析】解：（1）设这批赈灾物资运往乙县的数量是a吨，则运往甲县的数量是（2a﹣20）吨，则a+2a﹣20=100+100+80，a=100，2a﹣20=2×100﹣20=180，答：这批赈灾物资运往甲、乙两县的数量分别是180吨、100吨．（2）根据题意得：，解①得：x＞40，解②得：x≤45，∴不等式组的解集为：40＜x≤45，整数解为：41、42、43、44、45；则A、B两地的赈灾物资运往甲、乙两县的方案有五种；（3）设总费用为w元，则w=220x+250（100﹣x）+200（180﹣60﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20，w=﹣10x+60800，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=41时，w有最大值，w大=﹣10×41+60800=60390，答：该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是60390元．6．(1)y=8﹣2x ；0＜x＜4；(2)S=-6x+24；(3)△OAP的面积不能够达到30．【解析】试题分析：（1）利用2x+y=8，得出y=8﹣2x及点P（x，y）在第一象限内求出自变量的取值范围；（2）根据△OAP的面积=OA×y÷2列出函数解析式；（3）利用当S=30，﹣6x+24=30，求出x的值，进而利用x的取值范围得出答案．试题解析：（1）∵2x+y=8，∴y=8﹣2x，∵点P（x，y）在第一象限内，∴x＞0，y=8﹣2x＞0，解得：0＜x＜4，∴y=8﹣2x，x的取值范围是0＜x＜4；（2）△OAP的面积S=6×y÷2=6×（8﹣2x）÷2=﹣6x+24，即S=-6x+24；（3）∵S=﹣6x+24，∴当S=30，﹣6x+24=30，解得：x=﹣1，∵0＜x＜4，∴x=﹣1不合题意，故△OAP的面积不能够达到30．考点：一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．7．（1）A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元.试题解析：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：，解得．答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则a＞3（100﹣a），解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y=0.9[100a+80（100﹣a）]，即y=18a+7200．∵18＞0，y随a的增大而增大，∴当a=75时，y最小．即当a=75时，y最小值=18×75+7200=8550（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．考点：（1）一次函数的应用；（2）二元一次方程组的应用．8．（1）900，4小时两车相遇．（2）所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为：y=225x﹣900（4≤x≤6）（3）第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时解：（1）由图象可知，甲、乙两地间的距离是900km；图中点B的实际意义是：4小时两车相遇；故答案为：900，4小时两车相遇．（2）慢车速度是：900÷12=75km/h，两车的速度和：900÷4=225km/h快车速度是：225﹣75=150km/h；相遇时慢车行驶的路程75×4=300km，两车相遇后快车到达乙地所用的时间：300÷150=2h，两车相遇后，2h两车行驶的路程：225×2=450km，所以，B（4，0），C（6，450），设线段BC的解析式为y=kx+b，则，解得．所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为：y=225x﹣900（4≤x≤6）（3）相遇时快车行驶的路程900﹣300=600km，第二列快车与慢车相遇时行驶的路程：600﹣75×=562，5km，第二列快车与慢车相遇时所用的时间：562，5÷150=3.75h，4.5﹣3.75=0.75h．所以，第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时9．（1）y=﹣30x+150．（2）D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系，设y=kx+b，（k≠0）则，解得：，∴y=﹣30x+150．（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10 （3分）即：150﹣120﹣6+W≥118 解得W≥94，答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．。