高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

5、判断函数奇偶性的方法： ⑴、定义法：对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf〕函数f（x）是偶函数；

对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf 函数f（x）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较)(xf与)(xf的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 2()21;fxxx (2) . 223(),0;3xxfxxxxx

解：()fx函数的定义域是()，，

∵ 2()21fxxx，∴ 2()()21fxxx221()xxfx，

∴ 2()21fxxx为偶函数。 （法2—图象法）：画出函数2()21fxxx的图象如下：

由函数2()21fxxx的图象可知，

2()21fxxx为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、

填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2) . 解：由 303xx，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).

∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 24();33xfxx (2). 021()1xfxx。

解： (1).由240330xx，解得 2206xxx且

∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则2244();33xxfxxx.

∴224()4()();xxfxfxxx.

∴24()33xfxx为奇函数.

说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

(2). 由2010xx，解得 01xx，∴ 函数定义域为0,1xRxx，

又∵022111()011xfxxx，∴()0fx，

∴()()fxfx且()()fxfx，

所以022111()011xfxxx 既是奇函数又是偶函数。

【例3】 判断下列函数的奇偶性： (1). (1),(0)()0,(0)(1),(0)xxxfxxxxx

解析 (1) .函数的定义域为R，

当0x时，0,()()(1)(1)();xfxxxxxfx

当0x时，0,()0();xfxfx

当0x时，0,()()1()(1)().xfxxxxxfx

综上可知，对于任意的实数x，都有()()fxfx，所以函数()fx为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】 已知函数()(0),fxxRx且对任意的非零实数1,2,xx恒有1212()()(),fxxfxfx判断函数()(0)fxxRx且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)，

令121xx，得(1)0f，

令121xx，则2(1)(1),(1)0,fff

取121,xxx，得()(1)(),fxffx()(),fxfx

故函数()(0)fxxRx且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1) . 求字母的值：

【例5】已知函数21()(,,)axfxabcZbxc是奇函数，又(1)2f，(2)3f，求,,abc的值.

解：由()()fxfx得()bxcbxc，∴0c。

又(1)2f得12ab，而(2)3f得4132ab，∴4131aa，

解得12a。又aZ，∴0a或1a. 若0a，则12bZ，应舍去；若1a，则1bZb=1∈Z.

∴1,1,0abc。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。

(2) . 解不等式：

【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.

解：画图可知f(x)＜0的解集为 ｛x｜－1＜x＜1｝，

∴f(x－1)＜0，即－1＜x-1＜1，

∴解集为｛x｜0＜x＜2｝.

（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7.已知f(x)=x5+ax3−bx−8，且f(−2)=10，求f(2).

解：法一：∵f(−2)=(−2)5+(−2)3a−(−2)b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10

∴8a−2b=−50 ∴f(2)=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(−2)=−g(2) ∴f(−2)+8=−f(2)−8

∴f(2)=−f(−2)−16=−10−16=−26.

8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2−x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.

解：∵奇函数图象关于原点对称，

∴x＞0时，xxxxxfxf22)]()[()()(,

又f(0)=0

，如图

9. 设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.

解：∵f(a−1)＜f(a) ,偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增

∴f(|a−1|)＜f(|a|)

必有|a−1|，|a|∈[0，3]

.