3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值【素养目标】1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象)2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象)3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析)【学法解读】1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．第1课时函数的单调性必备知识·探新知基础知识知识点1函数的单调性前提条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I__∀x1，x2∈D__，x1<x2条件都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 图示结论f(x)在区间D上单调__递增__f(x)在区间D上单调__递减__ 特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__增函数__ 减时，我们就称它是__减函数__思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替一般．知识点2 函数的单调性与单调区间函数y ＝f (x )在__区间D __上是单调递增或单调递减，则函数在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数的单调区间．思考2：区间D 一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念．基础自测1．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( B ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能[解析] 因为函数y ＝f (x )在(a ，b )上是减函数，且x 1<x 2，所以f (x 1)>f (x 2)，故选B ． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ． 3．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( A )A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )是先增后减D ．函数f (x )是先减后增[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a 、b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，则f (x )在R 上是增函数，故选A ．4．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为__f (a 2－a ＋1)≤f (34)__.[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．关键能力·攻重难题型探究题型一 求函数的单调区间例1 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．[分析] (1)函数f (x )在D 上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． [归纳提升] 函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．【对点练习】❶ 据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．[解析]由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．题型二用定义法证明函数的单调性例2 利用单调性定义证明：函数f(x)＝x－1在其定义域内是增函数．[分析]由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明．[证明]函数f(x)＝x－1的定义域是x∈[1，＋∞)，设∀x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x2－1－x1－1＝(x2－1－x1－1)(x2－1＋x1－1)x2－1＋x1－1＝x2－x1x2－1＋x1－1.因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，所以x2－1＋x1－1>0，x2－x1>0.所以f(x1)<f(x2)．即函数f(x)＝x－1在定义域上是增函数．[归纳提升]函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．【对点练习】❷(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；(2)用函数单调性定义证明：函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[证明] (1)设x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 21＋4x 1)－(2x 22＋4x 2) ＝2(x 21－x 22)＋4(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)． ∵x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数． (2)设x 1>x 2>－1，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， y 1－y 2＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴y 1>y 2，∴函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．题型三 单调性的应用例3 已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )，求实数a 的取值范围．[分析] 根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )， ∴3a －7>11＋8a ， ∴a <－185，∴实数a 的取值范围是(－∞，－185)．[归纳提升] 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．【对点练习】❸ 已知函数g (x )是定义在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求实数t 的取值范围．[解析] ∵g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t ，∴t >13，即所求t 的取值范围为(13，＋∞)．课堂检测·固双基1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( C )A ．[0,1]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]． 2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( A ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4[解析] 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上单调递减，反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．3．(2020·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，若a ∈R ，则( D )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．4．判断并证明：函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．[解析] 函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－1x1＋1)－(－1x2＋1)＝－1x1＋1x2＝x1－x2x1x2.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.又由x1<x2，得x1－x2<0.于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．。