2
r
(1)代入(2)可得
H

1 2m

pr2

p2 r2

p2
r sin2



r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r

p2 mr3

p2
mr3 sin2

p

H


p2 cos mr2 sin3

p

即一维弹簧振子的 运动微分方程
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场
V
(r)


r
中的运动微分方程.
解：采用球坐标 (r, ,) 描述 位矢 r rer
质点的速度
v

d dt
(rer )

rer

re
r sine
拉氏函数 L T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
.
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
常数
即相应的广义动量守恒。
注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的 能量积分和循环积分，结果是一样的。
.
5.5 哈密顿正则方程
例题 1
例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的
2
广 义 动

pr

L r

mr

p


L


mr2
量

p

L


mr2 sin2
.
r
pr m



p mr2Βιβλιοθήκη pmr2 sin2
r
(1)
5.5 哈密顿正则方程
哈密顿量
H T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )

dH

s 1

H p
dp

H q
dq

H t
dt
(4)
(3)(4)比较可得哈密顿正则方程

q p

H p H
q
, 1, 2,...,s
.
以及 H L
t t
若L不显含t, 则H也 不显含t.
哈密顿函数
H px x L xpx m

px

px m

1 2
m
px m
2


1 2
kx2
px2 1 kx2 2m 2
.
正则方程
例题 1
x
H px

px m
(1)

p x
H x
kx
(2)
(1)(2)联立可得
x k x 0 m
H
H ( p,q,t) dH dt

s 1
H p
p
H q
q


H t
正则方程

s 1

H p
H q

H q
H p

H t
dH H dt t
H t
若H不显含t, 则H守恒。
H

0

r2
.
(4) (5) (6)
r
H

pr
pr m


H p

p mr2




H p

p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
5.5 哈密顿正则方程
分析：一、动量矩守恒
例题 2
由(6)(9)可得 p mr2 sin2 C(常数)
运动微分方程。
解：以平衡位置(即
平衡位置
弹簧原长位置)为原 点，建立一维x轴。
动能 T 1 mx2
2
m 光滑水平面
O
x
弹簧劲度系数为k
势能 V 1 kx2
2
拉氏函数
L T V 1 mx2 1 kx2
2
2
广义动量
px

L x

mx
x px m
.
5.5 哈密顿正则方程
(3)
定义另外一个函数，称为哈密顿函数
H H ( p1, p2 ,..., ps;q1,q2 ,..., qs;t)
s
p q L 1
其中的q 要 用(3)代换。
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的物理含义
s
若L不显含t, 则 H p q L 常数 1
5.5.2 正则方程
相空间 s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量， 它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间， 称为相空间。
相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态， 称为相点。
随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲 线，代表系统状态的演化路径。
.
5.5.3 能量积分与循环积分
能量积分
5.5 哈密顿正则方程
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的定义式
拉氏函数 L L(q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(1)
广义动量
p

L q
p (q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(2)
由(2)解得 q q ( p1, p2,..., ps;q1,q2,..., qs;t)
对于稳定约束系统，H即系统总能量
H T V
对于不稳定约束系统，H是广义能量
H T2 T0 V
.
5.5.1 勒让德变换
勒让德变换的规则 以上从L(q,q,t)到 H( p,q,t) 的变换称为勒让德变换。
s
H p q L 1
规则： 把要消去的变量(q )乘以原函数(L)对该变量的 偏导( p L q )后，再减去原函数。
s
( p dq
1

p dq
)

L t
dt
(2)
(2)代入(1)可得
dH

s
(q dp
1

p dq
)

L t
dt
(3)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
dH

s
(q dp
1

p dq
)

L t
dt
(3)
另一方面
H

H ( p,q,t)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
s
s
H p q L dH ( p dq q dp ) dL
(1)
1
1
L

L(q, q, t )

dL

s
1
L q
dq

L q
dq


L t
dt

(10)
另一方面计算可得 J z (r mv) ez mr 2 sin2