小波分析在信号奇异性检测中的应用
[摘要]: 信号的局部奇异性包含了信号的许多重要的信息。

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它突破了傅立叶分析在时域和频域方面的局部化能力, 因而它是一种检测奇异性的有力工具。

[关键词]：小波分析；特征提取；奇异信号；对比检测
中国分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1002-6908(2007)0120017-02
1．小波分析应用介绍
小波理论是近几十年发展起来的一种新的数学方法。

近年来，小波的发展基本上沿着两个不同的方向，一方面构造同时具有多种优良性质的新型小波，如M-带小波、多小波、第二代小波等；另一方面，随着小波理论的日臻完善，小波在地震勘测、计算机视觉、数值分析、微积分方程数值解等方面都得到了广泛的应用。

总之，小波分析作为一种新理论，已经和正在科学界掀起了一场轩然大波。

小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。

由于小波分析克服了传统傅氏分析的不足，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小波分析被誉为“数学显微镜”。

2．信号的奇异性分析
几乎一切信号都很难根据原始观察数据来作解释，总要提取一些特征来表示它。

而信号的奇异性常常是分析特征的关键。

信号中的奇异点及不规则的突变部分经常携带有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。

长期以来，傅立叶变换是研究信号奇异性的主要工具，其方法是研究信号在频域的衰减速度以推断此信号是否具有奇异性及奇异性的大小。

但是，由于傅立叶变换缺乏时域局部性，它只能确定信号奇异性的整体性质，而难以确定奇异值点在时域的位置及分布情况。

用小波变换分析信号的奇异性及奇异点的位置和奇异度的大小是有效的。

小波变换的一个重要性质就是具有在时间、频率上突出信号局部特征的能力。

在对信号进行表示和描述中，通常信号的奇异点（如过零点、极值点等）更能够刻画信号的细节，并在对信号进行区分中起着重要作用，因此，可以利用信号在多尺度上的综合表现来描述信号，特别是他的突变点或瞬态特征。

如果能够通过小波变换提取出这些奇异点，则能够更好对信号进行描述。

3．信号奇异性的Lipschitz意义
Lipschitz 指数是数学上用来表征信号局部特征的一种度量,它的物理意义是指曲线上某点的代数精度。

一个函数如果存在无限次可导就称为光滑或没有奇异
性，但它如果在某处有间断点或某阶导数不连续,通常叫做函数的奇异性，信号的奇异性通常用Lipschitz指数来刻画。

4．基于小波的信号奇异性对比检测
几乎一切信号都很难根据原始观察数据来作解释，总要提取一些特征来表示它。

而信号的奇异性常常是分析特征的关键。

傅立叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，由它的衰减快慢可以判断信号奇异性和奇异性的大小。

这正是傅立叶变换的长处，但是傅立叶变换只反映信号的整体奇异性，而缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,却难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。

而小波分析具有良好的时——频局部化特性，基于这个优点，小波变换已经受到了广泛的应用。

根据上面的理论分析，首先我们开始对比实验分析。

(1) 实验描述
某一正常工作的变压器，输出点的采样信号应为一蠕变信号，当变压器出故障时，输出点的采样信号会出现一突变信号(主要表现在幅度和频率的突变)，以下实验将分别利用频率分析方法傅立叶变换和时频结合分析方法小波变换来分析故障出现的时间点，进行对比实验。

以下数据记录了一台出故障的变压器在时间[1，400]每隔一秒的数据，其中在50秒和300秒附近出现故障。

原始数据文件为：shuju.mat.
(2) 绘制原始信号的图象
在原始信号图象中可以清晰看到在50秒和300秒附近出现故障。

(3) 傅立叶变换分析信号
傅立叶检测结果:
通过对信号进行傅立叶分析检测，在图象中看不出明显的变化，频域看不出异常。

(4) 用小波变换分析信号
(5) 实验对比结果
在图中我们可以看出，由于傅立叶变换将信号变换成纯频域中的信号，使它不具有时间分辨的能力，故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。

而用db小波分解后的信号，则可以很明显地辨别出该断裂点。

从上面例子对比可以看出，小波分析在检测信号突变点（奇异点）上具有比傅立叶变换无法比拟的优
越性，利用小波分析可以精确地检测出信号突变时间点。

5．结论
信号的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号重要的特征之一。

而刻画信号奇异性的一个重要的量便是Lipschitz指数。

小波变换在信号奇异性检测中的应用非常真实有效。

通过传统的傅立叶变换与小波变换的对比实验，傅立叶变换只反映信号的整体奇异性，而缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,却难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。

而小波分析却具有良好的时频局部化特性，基于这个优点，在信号的奇异性检测中，小波变换已经受到了广泛的应用。

参考文献
[1] 崔锦泰，小波分析导论[M]. 西安:西安交通大学出版社. 1997年7月.
[2] 楼顺天、李博函, 基于MATLAB的系统分析与设计(信号处理)[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 1998年9月.
[3] 胡昌华、张军波, 基于MATLAB的系统分析与设计(小波分析)[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 2000年6月.
[4] 秦前清、杨宗凯, 实用小波分析[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 1994年.
[5] 郑南宁, 数字信号处理[M]. 西安：西安交通大学出版社. 1991年.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。