换模极大值沿尺度具有不同的传播行为 , 使得小波
变换具有去噪能力 。
2 信号奇异性指数的计算方法
由奇异信号的小波变换特性可知 , 在小波变换
域 ,信号的光滑程度能够由不同尺度上小波系数绝
对值的衰减来估计 , 其定量指标即是信号的奇异性
指数 (Lipschitz 指数 α) ,它包括全局奇异性指数和局
述信号局部奇异性大小 。可以证明 ,对于调和分布 , 其小波变换具有相似的性质[7] ( - 1 ≤α < 0) 。另
外 ,白噪声是一个几乎处处奇异的随机分布的噪声 , 它具有负的 Lipschitz 指数 α= - 1/ 2 - ε, Πε> 0 , 白
噪声引起的小波变换模极大值与信号引起的小波变
2 j - ( N - M) l + 2 j - ( N - M)
3 电力设备故障检测
实测电力系统及设备故障时 , 其电流或电压一 般是包含工频基波分量 、各次谐波分量 、突变暂态分 量和一些噪声的混合信号 。因此 , 为了研究信号奇
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定理 2[7 ] 对ε> 0 , 定义 S ( x0 , j ,ε) = { k ∈Z ;
sup p (ψ j , k ) ∩( x0 - ε, x0 +ε) ≠ψ} , 若对某一ε> 0
及 α> 0 ,存在
max| k ∈S
W2jf ( k) |
≤c2 - j (1/ 2 +α)
(2)
则 f ( x) ∈Cαx0 ( R) 。
号 n ( t) 等奇异信号 , 以及电流基波 、各整次谐波等
理论信号和它们的混合信号作为分析对象 , 计算其
全局 Lipschitz 指数 (局部 Lipschitz 指数有类似的特
征 和 规 律 ) 。小 波 基 分 别 选 用 了 Haar 小 波 、
Daubechies24 小波及基数 B 样条小波等具有不同性
求第 l ( l = 1 , …,2N - M) 个局部奇异性指数的问题变
成求最佳的 cl 和αl ,满足
| djk| ≤cl2 - j (1/ 2 +αl) ,
(10)
j = N - 1 , N - 2 , …, N - M
k = 2 j - ( N - M) l ,2 j - ( N - M) l + 1 , …,
1 4 电 力 自 动 化 设 备 2000 年
异性指数在电力设备故障检测中的应用 , 首先就电
力故障信号中各组成成分的理论信号 , 分析计算其
基于小波变换的奇异性指数 。然后对发电机匝间短
路故障检测进行仿真 。
311 理论信号分析 选择阶跃信号 u ( t) 、脉冲信号 δ( t) 、白噪声信
j (1/ 2 +α)
+
b
3 j
≤b , j = N - 1 , N - 2 , …, N -
M
(5)
c.
为解不等式组 (5)
,令
j (1/ 2 +α)
+
b
3 j
+βj =
b ,则 βj = b -
j (1/ 2 + α)
-
b
3 j
,问题变为求 α和
b,
使其满足
min ∑β2j =
∑[ b -
j (1/ 2 + α)
定理 1[1 ,7] ①若 f ( x) ∈Cα( R) , 则 W2jf ( x) | ≤
c2 - j (1/ 2 +α) ; ②若| W2jf ( x) | ≤c2 - j (1/ 2 +α) , 则 f ( x) ∈
Cα( R) 。
证明 : ①因 为 基 本 小 波 满 足 允 许 条 件 , 即
部奇异性指数[1] 。设小波函数 ψ( x ) 满足 允 许 条
件 、衰减条件 ,且具有紧支集 ,记 djk 为离散采样信号
cNk , ( k = 1 , …,2N) 的小波分解 。由定理 1 可知 , 求全
局奇异性指数的问题变成求最佳的 c 和α( 即最大
的 c 和最小的α) ,使得
| djk| ≤c2 - j (1/ 2 +α) , j = N - 1 , N - 2 , …, N - M (3) 因此 ,对 α的求解分以下三个步骤进行 :
质的小波基[8 ,9] 。采样频率取为 10 kHz ,进行三层
小波分解 ( M = 3) 。从分析结果表 1 及图 1～3 可得
出如下几点结论 :
a . 电流信号的 Lipschitz 指数随谐波次数的增
加而减小 ,这表明信号变化愈剧烈 ,其奇异性指数愈
小 。但其 Lipschitz 指数始终大于零 。
第 3 期 何正友 , 等 : 基于小波变换的信号奇异性指数计算方法及其应用 13
有对小波本身的正则性作要求 , 因而信号的定义 1
的条件能够用它的二进小波变换的绝对值按照尺度
衰减来特征化 。另外 , 函数的高阶可微能力与它的
高阶导数连续能够借助于小波系数的衰减类似地特
-
b
3 j
]2 , j
=
N
-
1,
j
j
N - 2 , …, N - M
(6)
运用一次最小二乘法 ,可求出
α=
∑j
∑b
3 j
-
M
∑jb
3 j
M ∑j2 - ( ∑j) 2
-
1 2
,j
=
N
-
1,
N
-
2,
…, N - M
(7)
这就是基于小波变换的信号全局奇异性指数 。
由小波变换对信号奇异性的刻划原理 (定理 2) 可知 ,信号局部奇异性指数的求解步骤与求解全局 奇异性指数类似 , 只是 k 的取值范围应随 j 变化 。 给定信号 cNk ( k = 1 , …, 2N ) , 经 M 层 小 波 分 解 后 得到 :
摘要 : 电力设备故障时将产生具有奇异性的非平稳信号 ,小波变换在时域和频域内同时具有局部 化能力 ,是分析故障信号奇异性的有利工具 ,为电力设备故障检测提供了新思路 。首先讨论了信号 奇异性的小波变换特性 ,在此基础上 ,研究了信号全局奇异性指数和局部奇异性指数 (Lipschitz 指 数) 的计算方法 。仿真分析了电流基波及各次谐波等理论信号等的奇异性指数特点 ,将其应用于电 力设备故障检测中 ,得到了较好的结果 。 关键词 : 小波变换 ; 奇异性 ; Lipschitz 指数 ; 故障检测 中图分类号 : TM 77 ; TM 744 文献标识码 : A 文章编号 : 1006Ο6047 (2000) 03Ο0012Ο04
电力设备 (如发电机) 故障检测与诊断就是分析 和识别电力系统基本设备在运行中产生的各种电 磁 、机械等信号 ,实时地判别其状态 。电力设备正常 运行时发出的信号 (如振动) 较平稳 ,一旦设备异常 , 就将发出具有奇异性的动态非平稳信号 。如发电机 定子绕组内部短路时 , 由于各绕组之间以及故障部 分和非故障部分存在互感 , 电机内部电磁关系发生 变化 ,从而引起定子电流谐波分量的增加 、负序电压 和转子二次谐波电流的变化 。为实现匝间短路故障 的快速 、准确检测 ,必须有效地识别故障发生瞬间定 子电流及负序电压等非平稳动态信号 。基于小波变 换的模极大值的模糊智能方法为故障诊断提供了新
dNk - M , k = 1
dNk - M + 1 , k = 2 l ,2 l + 1 …
djk , k = 2 j - ( N - M) l ,2 j - ( N - M) l + 1 , …,
(9)
2 j - ( N - M) l + 2 j - ( N - M)
…
dNk - 1 , k = 2M - 1 l ,2M - 1 l + 1 , …,2M - 1 l + 2M - 1
a.
求信号的离散小波分解
djk 及
d
3 j
= max|
djk |
>
0 ,问题变为求最佳的 c 和α,使
|
d
3 j
|
≤c2 - j (1/ 2 +α) , j = N - 1 , N -
2 , …, N -
M
(4)
b.
求
b
3 jBiblioteka = log2 c , 并记
b = log2 c , 则不等式组
(4) 变为
∫ψ( t) d t = 0 ,所以有 R
∫ | W2jf ( x) | = 2j/ 2ψ(2jt - x) [ f ( t) - f (2- jx) ]d t ≤ R ∫2 j/ 2 | ψ[2 j ( t - 2- jx) ] | | c′( t - 2 - jx) | αd t ≤ R
∫ c′2- j (1/ 2+α) | ψ( t) | | t | αd t ≤ c2- j (1/ 2+α) R
定理 2 描述了函数的局部奇异特性 。对孤立的
奇异点 x0 ,当 j →+ ∞时 ,函数的小波系数的绝对值 | W2jf ( x0) | 趋于零的速度小于| W2jf ( x) | 趋于零的 速度 。这表明| W2jf ( x) | 在 x0 点取得局部极大值 。 因而小波变换可以确定信号奇异点的位置和定量描
收稿日期 :1999Ο11Ο08
思路[6] ,但它需要跟踪模极大值的传播和大量的样 本学习 。本文直接将表征信号特点的奇异性指数作 为电力设备故障的检测依据 , 是一种新颖的故障检 测方法 。