【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
2 解法1：设 f ( x) ax bx c(a 0)
2 4 ac b 由f(x)的最大值是8知 8 4a
又

f (2) 4 a 2 b c 1 f ( 1) a b c 1
思考
如何求函数f(x)的最大值？
图像分析
(2) (1)
(3)
知识巩固
练习2
1.
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时, 求函数f(x)的最大值与最小值 。 (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是 单调函数； （3）当 a R 时，求函数f(x)的最大值。 2.已知f(x)=x2-3x+1, 当x∈［-1,1］上，不等式 f (x)＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围。
定义域 值域
单调性 奇偶性 最值
在 (-∞, 2a ]上递减 , 在[ b ,+∞)上递增.
2a
b
4ac b 2 （ - ∞, ] 4a
在(-∞,
b

b ] 2a
上递增.
在 [ 2a ,+∞)上递减.
当b=0是为偶函数 最小值
4ac b 2 4a
Hale Waihona Puke （b 2a最大值 ,
x
4ac b 2 ） 4a
∴可设 f ( x) 1 a( x 2)( x 1)(a 0)
12 9 f ( x) a( x x 2) 1 a( x ) a 1 2 4 9
2
由题意知
4
a 1 8
解得 a=-4
f ( x) 4( x2 x 2) 1 4x2 4x 7
无论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系。 当问题中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最 值一般在区间的端点或顶点处取得。
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最小
值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小值．
解得 a 4，b=4，c=7
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法2：由 f (2) 1, f (1) 1
得函数 f ( x) 的对称
1 轴是 x 2 1 2 可设 f ( x) a( x ) 8(a 0) 2 9 由 f (2) a 8 1 得 4 a 4
学习目标
1. 理解二次函数的定义，会结合条件求出二 次函数的解析式。 2.会根据二次函数的解析式画出图象，会判断 函数在某个区间上的单调性，会求闭区间上的 最值。 3.掌握用数形结合、分类讨论的数学思想解决 函数问题的方法。
基础知识
1.二次函数的解析式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
一般式 解 析 式 顶点式 两根式
4ac b 2 4a
顶点 对称轴
b 2a
基础练习
1. 函数 f ( x) x 3x 2 在 区间 5,5 上的最大值 、最 小值分别为（ D ） 1 1 1 (C)12, (D)无最大值，最小值是 (A)42,12 (B)42， 4 4 4
2
2.已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c且a+b+c=0,则它的图象是下 图中的( D )
2
题型二：二次函数的图象与性质的应用
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最
小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
图象分析
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最 小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3.若二次函数的图象经过点（0,1），对称轴是x=2，最小值为-1, 则它的解析式为 f ( x) 1 ( x 2)2 1 ( f ( x) 1 x 2 2 x 1)
2
2
题型一：求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
5 2 t 5t 1, t 2 , 5 3 29 h t , t , 2 2 4 3 2 t 3t 5, t . 2
方法总结
求二次函数最值的类型及解法： (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动
f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k）
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), x1, x2为f(x)的零点
基础知识
函数 图象
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
y o x
R
4ac b 2 [ ,+∞) 4a
y o x
方法总结
求二次函数的解析式,一般用待定系数法， 关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式， 一般选择规律如下：
三个点坐标 顶点坐标 已知 对称轴 最大（小）值 宜选用两根式 宜选用顶点式 宜选用一般式
零点
知识巩固
练习1
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的 值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________. 2 x 4

1 2 f ( x) 4( x ) 8 2
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法3：由 f (2) 1, f (1) 1
知 f ( x) 1 0 的两根为2，-1