第二章 一元二次函数、方程和不等式考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( D ) A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a >b >0，c >d ，则a ·c >b ·dC ．若a >b ，则a ·c 2>b ·c 2D ．若a ·c 2>b ·c 2，则a >b[解析] 由题意，对于选项A 中，当a >0>b 时，此时1a >1b ，所以A 是错误的；对于选项B中，当0>c >d 时，此时不等式不一定成立，所以B 是错误的；对于选项C 中，当c ＝0时，不等式不成立，所以C 是错误的．根据不等式的性质，可得若ac 2>bc 2时，则a >b 是成立的，所以D 是正确的．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －1≤0，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( C ) A ．{x |－2≤x <2} B ．{x |－1<x ≤1} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1<x <2}[解析] 由题意，A ＝{x |x ＋2x －1≤0}＝{x |－2≤x <1}，B ＝{x |－1<x <2}， 则A ∩B ＝{x |－1<x <1}．3．设A ＝b a ＋ab ，其中a ，b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系是( B )A ．A ≥B B ．A >BC ．A <BD ．A ≤B[解析] 因为a ，b 都是正实数，且a ≠b ， 所以A ＝b a ＋ab>2b a ·ab＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2 ＝－(x －2)2＋2≤2， 即B ≤2，所以A >B ．4．已知2x ＋3y ＝3，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( C )A ．53B ．83C ．8D ．24[解析] 因为2x ＋3y ＝3，x ，y 均为正数， 则3x ＋2y ＝13(3x ＋2y )(2x ＋3y ) ＝13(12＋9y x ＋4x y)≥12＋29y x ·4xy3＝8，当且仅当9y x ＝4xy且2x ＋3y ＝3，即x ＝34，y ＝12时取等号，所以3x ＋2y的最小值是8.5．若不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( D ) A ．{a |－16<a <0} B ．{a |－16<a ≤0} C ．{a |a <0}D ．{a |－8<a <8}[解析] 不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ， 所以Δ＝a 2－4×4×4<0，解得－8<a <8， 所以实数a 的取值范围是{a |－8<a <8}．6．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．{m |m <6} B ．{m |m ≤6} C ．{m |m ≥6}D ．{m |m >6}[解析] 当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立⇔当x >0时，不等式m <x ＋9x 恒成立⇔m <(x＋9x )min ，当x >0时，x ＋9x ≥2x ·9x ＝6(当且仅当x ＝3时取“＝”)，因此(x ＋9x)min ＝6，所以m <6.7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( C )A ．4 5B ．415C ．8 5D ．815[解析] 由题意，p ＝10，S ＝10(10－a )(10－b )(10－c )＝20(10－a )(10－b )≤20·10－a ＋10－b 2＝85，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8 5.8．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为( D )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4[解析] 易知a >0，则原不等式的解集为空集等价于x 2＋abx ＋ac <0的解集为空集，所以Δ＝a 2b 2－4ac ≤0⇒4ac ≥a 2b 2，所以T ＝1＋2ab ＋4ac 2(ab －1)≥1＋2ab ＋a 2b 22(ab －1)＝(ab －1)2＋4(ab －1)＋42(ab －1)＝12[(ab －1)＋4ab －1＋4]≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当ab －1＝4ab －1，即ab ＝3时，等号成立．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，则下列结论正确的是( BCD ) A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0[解析] 因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，故D 正确，故选BCD ．10．使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件是( AC ) A ．－2<x <0 B ．－3<x <2 C ．0<x <3D ．－2<x <4[解析] 由x 2－x －6<0得－2<x <3，若使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x |－2<x <3}的真子集，故选AC ．11．设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式恒成立的是( CD ) A ．a 2>abB ．a 2<b 2C ．1ab 2<1a 2bD ．a 3<b 3[解析] 对于A ，当a ＝2，b ＝3时，a <b ，但22<2×3，故A 中不等式不恒成立； 对于B ，当a ＝－2，b ＝1时，a <b ，但(－2)2>12，故B 中不等式不恒成立； 对于C ，1ab 2－1a 2b ＝a －b(ab )2<0恒成立，故C 中不等式恒成立； 对于D ，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )[(a ＋12b )2＋34b 2]，∵a <b ，∴a －b <0，又(a ＋12b )2＋34b 2>0，∴a 3<b 3，故D 中不等式恒成立，故选CD ．12．设a 、b 是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) A ．ab >2aba ＋bB ．a >|a －b |－bC ．a 2＋b 2>4ab －3b 2D ．ab ＋2ab>2[解析] 对于A ，ab >2ab a ＋b ⇒1>2ab a ＋b ⇒a ＋b2>ab ，当a ＝b >0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B ，a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b ，故B 中不等式正确；对于C ，a 2＋b 2>4ab －3b 2⇒a 2＋4b 2－4ab >0⇒(a －2b )2>0，当a ＝2b 时，不等式不成立，故C 中不等式错误；对于D ，ab ＋2ab≥22>2，故D 中不等式正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若x ∈{x |x >1}，则y ＝3x ＋1x －1的最小值是[解析] ∵x >1，∴x －1>0，因此y ＝3x ＋1x －1＝3(x －1)＋1x －1＋3≥23(x －1)·1x －1＋3＝3＋23，当且仅当3(x －1)＝1x －1，即x ＝33＋1时取等号，因此y ＝3x ＋1x －1的最小值是3＋2 3.14．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ＝__－6__，c ＝__－1__. [解析] 由题意知a <0，且不等式对应方程的两个根分别为13，12，根据根与系数的关系得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝13×12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.15．已知a >b >0，且m ＝1a (a －b )，n ＝a 2＋1ab ，则m ＋n 的最小值是__4__.[解析] 由已知可得，a >b >0，所以m ＋n ＝1a 2－ab＋a 2＋1ab ＝1a 2－ab ＋(a 2－ab )＋1ab ＋ab ≥4，当且仅当a ＝2，b ＝22时，等号成立． 16．已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为[解析] 已知不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立， 当a ＝0时，2x ＋b ≥0，不符合题意；当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4ab ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≥1.又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立， ∴4－4ab ≥0⇒ab ≤1，因此ab ＝1，且a >0，从而b >0，又a －b >0， ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2，即a ＝6＋22，b ＝6－22时，等号成立． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知关于x 的不等式(k 2＋4k －5)·x 2＋4(1－k )x ＋3>0的解集为R ，求实数k 的取值范围．[解析] 当k 2＋4k －5＝0时，k ＝1或k ＝－5.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－5，原不等式为24x ＋3>0，不恒成立，不符合题意．当k 2＋4k －5≠0时，依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5>0，16(1－k )2－4(k 2＋4k －5)×3<0， 解得1<k <19.因此，1≤k <19. 故实数k 的取值范围为{k |1≤k <19}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3mx 2＋mx －2(m ∈R )． (1)当m ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的不等式f (x )<0的解集为R ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝1时，f (x )＝3x 2＋x －2. 由f (x )>0可得3x 2＋x －2>0，解可得x >23或x <－1，故不等式的解集为{x |x >23或x <－1}．(2)因为不等式f (x )<0的解集为R ， 所以3mx 2＋mx －2<0恒成立．①m ＝0时，－2<0恒成立，符合题意， ②m ≠0时，根据二次函数的性质可知，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋24m <0， 解得－24<m <0，综上可得，实数m 的取值范围为{m |－24<m ≤0}．19．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.[解析] (1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0， 解得0<a ≤1.综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}． (2)由x 2－x －a 2＋a <0得(x －a )[x －(1－a )]<0. 因为0≤a ≤1， 所以①当1－a >a ， 即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，(x －12)2<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上所述，当0≤a <12时，解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，解集为∅，当12<a ≤1时，解集为{x |1－a <x <a }．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0，所以－2<x <4， 所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．因为对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤2}．21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x (x ≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R (x )万元，且R (x )＝74 000x －400 000x 2. (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数关系式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解析] (1)由题意，可得年利润W 关于年产量x 的函数关系式为W ＝xR (x )－(160x ＋400) ＝x (74 000x －400 000x 2)－(160x ＋400)＝74 000－400 000x －160x －400＝73 600－400 000x －160x (x ≥40)．(2)由(1)可得W ＝73 600－400 000x －160x≤73 600－2400 000x·160x ＝73 600－16 000＝57 600，当且仅当400 000x ＝160x ，即x ＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中取得最大值57 600万元．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝0，解关于x 的不等式f (x )≥x (结果用含m 式子表示)；(2)若存在实数m ，使得当x ∈{x |1≤x ≤2}时，不等式x ≤f (x )≤4x 恒成立，求负数n 的最小值．[解析] (1)由题得：x ≤x 2＋mx －m ，即(x ＋m )(x －1)≥0； ①m ＝－1时可得x ∈R ；②m <－1时，－m >1，可得不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥－m }； ③m >－1时，－m <1，可得不等式的解集为{x |x ≤－m 或x ≥1}． (2)x ∈{x |1≤x ≤2}时，x ≤x 2＋mx ＋n ≤4x 恒成立， 即为1≤x ＋nx＋m ≤4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，即存在实数m ，使得－x －n x ＋1≤m ≤－x －nx ＋4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，所以(－x －n x ＋1)max ≤m ≤(－x －nx ＋4)min ，即(－x －n x ＋1)max ≤(－x －nx ＋4)min .由y ＝－x －nx(n <0)在[1,2]上递减，所以－n ≤2－n2，即n ≥－4，所以负数n 的最小值为－4.由Ruize收集整理。