放射性废料的处理问题
(一)．实验类型：综合型
(二)．实验类别：基础实验
(三)．每组人数：1
(四)．实验要求：选修
(五). 实验学时：3个学时
(三)．实验目的：巩固和理解微分方程理论及其应用。
(四)．预备知识：常微分方程理论和Mathematica 解方程的命令。
(五)．【实验内容与要求】
美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辩说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过12.2 m/s ，圆桶与海底碰撞会发生破裂。
为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已
知圆桶重为239.46 kg ，体积为0.2058 m 3,海水密度为1035.71 kg/m 3。
如
果圆桶下沉到海底时的速度小于12.2 m/s ，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为0.6。
（1）根据问题建立数学模型。
（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？
(六)．实验解答
一、问题分析及建立模型
圆桶运动规律：
f F G F --=合
(1)
22dt
s d m dt dv m ma F ===合 （2）
其中mg G =，gV F ρ= dt
ds k kv f == 由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===--==0)0(0)0(022s v dt ds dt ds k gV mg dt
s d m t ρ (3)
kv gV mg dt
dv m --=ρ (4)
2、若2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛==dt ds k kv f ，类似上面，可得到这时圆桶的速度分别满足如下微分方程： 2kv gV mg dt
dv m --=ρ 二、计算过程
1、由（1）（2）（3）（4）以及题设的初始数据，通过如下Mathematica 程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。
源程序：
In[1]:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k
= 0.6;
DSolve[{m*s''[t] == m*g - p*g*w - k*s'[t], s[0] == 0, s'[0]
== 0}, s[t], t]
DSolve[{m*v'[t] == m*g - p*g*w - k*v[t], v[0] == 0}, v[t],
t]
Out[1]=
s t
2.718280.00250564t171511.171511.2.718280.00250564t
429.7442.718280.00250564t t
（5）
v t429.744429.7442.718280.00250564t0.00250564t （6）
2、由（5）及S(t)=90m，由下面程序
FindRoot
90 2.718281828459045`0.002505637684790779`t
171510.99243459993`
171510.9924345999`
2.718281828459045`0.002505637684790779`t
429.7444059999998`
2.718281828459045`0.002505637684790779`t t,
t,13
得到：t=12.994 ，带入（6），运行如下命令
v t_
429.7444059999998`
429.7444059999998`
2.718281828459045`0.002505637684790779`t
0.002505637684790779`t;
v12.9994
得V=13.772>12.2，此时说明此法处理废料不行。
三、结果分析
在实际情况中k 与v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在
空气中和在水中k 与v 的关系就不同。
在一般情
况下，k应是v的函数，即k=k(v)，至于是什么样
的函数很难确定。
四、模型推广
这个模型可以推广到其他方面，比如说一个物体从
高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，
落到地面的速度也越大，但决不会无限大。
实验三路程估计问题
(一)．实验类型：综合型
(二)．实验类别：基础实验
(三)．每组人数：1
(四)．实验要求：选修
(五). 实验学时：3个学时
(三)．实验目的：能用数学软件进行数据拟合。
(四). 预备知识：多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原理。
(五)【实验内容与要求】
外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。
当身
边带有地图时，这似乎是件很容易的事。
然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离d ，你能由此估计出两地的实际路程s 吗？建立s 关于d 的模型：)(d f s =。
（1）要确定s 与d 的近似函数关系，必须收集若干s 及与之相应的d 的具体数据，通过分析找出规律。
这里将《中国地图》中量得四川省彭州市到其他几个城市的直线距离，并按比例尺（1cm 为20km ）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表2-2。
表2-2 城市间直线距离和实际路程
（2）启动数学软件，将上表中d 与s 两组数据，按拟合时所需形式输入。
（3）画出数据散布图，观察它们是否大致在一条直线附近。
（4）进行直线拟合，并在同一图中显示拟合直线与数据点。
观测拟合情况，并记下所得到的模型（称为经验模型）。
（5）在只作粗略估计的情况下，为便于计算，若将上面得到的模型修改成b d s -=5.1（简单模型）行吗？根据表中数据，取b =3，试画出简单模型与样本数据点的图形，并与（4）所得到的图形相对照。
（6）试计算由两个模型得到的估计值与实际值的差（残差），以大致观测一下两个模型的差异。
在只作粗略估计的前提下，你愿意用哪个模型？
(六)实验解答
一、问题分析与建立模型
问题的关键在于收集数据，然后描出数据散布图，通过观测，决定用什么函数去拟合。
由所给数据，发现它们大致在一条直线附近，故用直线拟合，又因d=0时，S必为零，因此，不妨设模型为S=ad。
二、计算过程
1、ln[1]=
x={36,21.6，31，26.4，46，15，32.8，34，47.6}；
y={42,30，58，43，68，16，43，50,65}；
data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,9}]；
shu=ListPlot[data，PlotStyle PointSize[0.02]] （*作数据散布点*）
s=Fit[data,{d},d]; (*拟合直线*)
Print[“s=”,s]
P=Plot[s,{d,0,50}] (*作拟合直线图*)
Show[shu,p] (*在同一图上观测拟合效果*)
Out[6]=
S=1.42852d
Out[8]= -Graphics-
由此，得出经验模型S=1.42952d
将经验模型修改为简单模型S=1.5d-b，其目的很清楚，是为了便于计算，在只作粗略估计的情况下，我们更宁愿这样作，作为实践中的一条经验，它比前者更具有优势。
式中的b显然应因短程与远程而有所不同，这实际上给我们提出了这样一个问题：
对某值比如50km以内的较短路程用一个公式，对较长的路程再用一个公式是否会更好呢？
2、a=1.5 b=3 b因路程长短有所不同
ln[9]=
m=Plot[1.5*d-3,{d,0,50}];
show[shu,m] （*显示简单模型与样本数据点的图形*）
Out[10]:=
-Graphics-
三、结果分析
In[11]:=
sp=1.42952*x （*由经验模型算估计值*）
ss=1.5*x-3 （*由简单模型算估计值*）
error1=y-sp (*计算残差值*)
error2=y-ss （*计算残差值*）Out[11]:={51.5，30.9，44.3，37.7，65.8，21.4，46.9，48.6，68}
{51.，29.4，43.5，36.6，66.，19.5，46.2，48.，68.4}
{-9.5，-0.88，14.，5.3，2.2，-5.4，-3.9，1.4，-3.}
{-9.，0.6，14.5，6.4，2.，-3.5，-3.2，2.，-3.4}
所得结果可见：两个模型的差异并不大，且它们对多数点都吻合得较好，但也有误差较大的，分析其原因：
一：是我们的模型本身是根据小样本而得到，不可能是很精确的；
二：是有两种极端情形（它们的误差都较大）应该注意：（1）路较直，如彭县→成都（误差为-9）；（2）路线起伏大，如彭县→灌县，实际路线是彭县→唐昌→灌县，相当于走三角形的两边（误差为+14.5）。
这是不是提醒我们，应该把与AB垂直的最大偏离h测量出来，并结合到模型中以提高精度呢？。