函数的奇偶性.周期性例1、函数奇偶性的判断(B) y = sinx (C) y = lnx (D) y = x 2+l5、定义域为R 的四个函数歹=兀2+1, y = 3”，y=|x+l|, y = 2cosx 中，偶函数的个数是(A. 4B. 3C. 2D. 1例2、函数奇偶性的应用：⑴判断/(兀)的奇偶性；⑵证明：f(x)>0. 牛刀小试：1.函数y 二f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y 二f(x) • g(x)的图象可能是(下列函数：①/(x) = Jl-兀2+ Jx 2 -1 ；② /(x) = X 31 — V⑤如弋苗。
其中奇函数的个数是()。
A. 2B. 3C. 4 牛刀小试：1、判断下列函数的奇偶性：(l)f (x) =X：｛——;D. 5(3)f (x) = (x —1)1+x⑷ f (x) = ^3—x 2H-A /X 2—3 .2、［2015高考福建, 理2】下列函数为奇函数的是()A. y = y/xB. y=sin«r|C. y = cosx3、【2015髙考广东, 理3】下列函数屮, 既不是奇函数，也不是偶函数的是(A. y = x + e x1 B. y = x + —xC. y = 2v+ — 丿 2J4、【2015高考安徽, 理2】下列函数屮, 既是偶函数乂存在零点的是((A) y = cosx已知/(^)=1 1)---------- 1 --2r -l 2)；③/(x) = lnlx+4.A. x 轴成轴对称图形C.直线y 二x 成轴对称图形例3、奇偶性、单调性的交汇问题 已知奇函数/(兀)的定义域为［-2,2］,且在区I 叫—2,0］单调单减，求满足/(l-m) + /(l-m 2)<0的实 数加的取值范闱。
牛刀小试：1、已知函数/(兀)是定义在区间［-2, 2］上的偶函数，当xG ［0,2］时，/(兀)是减函数，如果不等式 /(l-m)</(m)成立，则实数加的収值范围( )A.［—l*B. 1, 2C. (-oo,0)D. (-=0,1)例4、抽象函数的奇偶性已知函数/(兀)的定义域为/?,且对任意的a,bwR 都有/(a+b) = /(Q )+ /(b),当兀〉0时，/(^)<0 恒成立①证明：/(兀)是R 上的减函数；②证明：/(兀)是奇函数。
例 5、若函数 /(%) = (%+a)3 PxwR W/(l + x) = -/(l-x)求/⑵ + .f (-2)。
牛刀小试：1、 设/(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，/(x) = 2x +2x + /? (b 为常数)，则/(-1)=( )A. 3B. 1C. -1D. -32、 设函数/(x)为偶函数，且当xw [0,2)吋/(x) = 2sin x ,当兀w [2,+°°)吋fM - log?x ，则 71 /(~) + /(4)= A 、—V3 + 2B 、1C\ 3D 、V3 + 22、 函数y = lg ——、 -1/的图象关于(B. y 轴成轴对称图形 D.原点成中心对称图形例6、函数的奇偶性与周期性己知函数几0是(一8, +®)上的奇函数，且/(兀)的图象关于兀=1对称，当兀G ［0,1］时，几T) =2A-1,(1)求证：/U)是周期函数；⑵当炸［1,2］时,求夬兀)的解析式;⑶计算用))+夬1)+/(2) +・・・+/(20⑶的值.牛刀小试:1、已知函数/(兀)是定义在/?上的以5为周期的奇函数,若/(3) > 0,/(2012)=⑺+ 2)(°— 2),则a的取值范围是( )A. (—oo,—2)C. (-2,2)D. ( —oo, —2)kJ ( 2,,例7、奇偶性.单调性、周期性的交汇问题设/U)是(一°°，+°°)上的奇函数，/(%+2) =-/%),当0W兀W1 时，Ax)=x.⑴求血)的值;(2)当一4W/W4时，求夬力的图象与x轴所围成图形的面积；⑶写出(-oo, +oo)内函数/(兀)的单调增(或减)区间.例8、函数周期的应用设/(兀)是周期为2的奇函数，当0<x< 1时，/(x) = 2%(l-x),则/ ―=()\ 2丿1 1 1(A)-- (B)-- (C)-2 4 4 牛刀小试：1.1(巧当0 5x51 时，/(x) = 2x(1- X),则 /(—2) = ____________2、设屮刘是+ Q上的奇函数，且丁匕+2)=-亢Q，下面关于门刘的判定：其中正确命题的序号为 ______ .③门刘的图象关于X — 1对称；④门刘的图象关于X — 1对称.例9.函数的周期性与其他知识交汇已知函数/(兀)对任意实数兀满足/(x + l) = -且当XG［-1,1］时，/(x) = x2o(1)求于(2012)；(2)确定函数/(x)的图象与函数y = lg x的图象交点的个数。
牛刀小试：1、设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f (x+2) =—f (x),当xW［0, 2］时,f (x) =2x —x2.(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当xe［2, 4］时,求f(x)的解析式；(3)计算f(0) +f(l) +f(2) +・・・ + f (2014)的值.高考赏析：1、【2015高考新课标1,理13】若函数/U)二+ + )为偶函数，则—_________2、［2015 高考湖南，理5】设函数/(x) = ln(l+x)-ln(l-x),则/(x)是( )A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数3、设函数/(x), g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是他幣数，则下列结论正确的是A ./(x) g(x)是偶函数B ,\ /(%) | g(X)是奇函数C . f(x) | g(x) |是奇函数D .| f(x) g(兀)|是奇函数4、已知偶函数/(兀)在［0,+8)单调递减，/・(2)= 0.若/(兀一1)>0,则x的取值范圉是_______________5、函数/(%)的定义域为R,若/(x + 1)与于(兀一1)都是奇函数，贝！1()(A) /(%)是偶函数(B) /(X)是奇函数(C) /(%) = /(x + 2) (D) /(x + 3)是奇函数6・/(x-4) = -/(兀),且在区间［0,2］上是增函数，则( ).A. /(-25) < /(II) < /(80)B. /(80) < /(II) < /(-25)7、已知偶函数.f(x)在区间［0,4-00)上单调递增，贝IJ 满足/(2x-l)</(-)的x 取值范围是(3r 1 (D) ［「 28、 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A. fM = — B . / W =［X Z — 1 zC. fM = :D. fM = lg sin xe +e9、 若于(兀)=—+ d 是奇函数，则。
= _________________2—1练习反馈：Y <0I 、定义在R 上的“满足心.—),5则 7(2010)= ________ 2、设 /(X )= x - sin x,则 /(x) A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数B.(-l,0)D. (l,+8)4、如果 /(x + ^) = /'(一兀)且 /(x) = /(-x)则 /(兀)可以是()A. sin 2xB. cosxC. sin|x|D. sinx5、 已知定义在/?上的函数/(兀)满足"赴二，且/(_2)=/(_1) =-!,/( 9 土，则\ 2丿/(1)+/( 2)4-+/( 201,()A. -2B. -1C. 0D. 16、 函数f(x) = x\x-^c\+b 是奇函数的充要条件是()I 2 1 2 1 9 (A)(亍，亍)(B) ?) (0(-，-) B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数3、若函数f(x) =2X +1 2x-a是奇函数，则使f(x)>3成立的x 的収值范围为C.(OJ))7、 若函数/(x)9g(x)分别为尺上的奇函数、偶函数，且满足/(x)-g(x) = e x ,则有()A . y (2)V /⑶ V g(o)B . g(o) </(3)</(2) C./(2)<g (0)</⑶D. g (0)</(2)</(3)8、 已知定义在R 上的奇函数几v)满足/U+2)=—/W ，则，夬6)的值为( )A. -1B. 0C. 1D. 29、已知/(x)满足/(x+3)= /(x), "R,且/(兀)是奇函数，若/(1) = ^2 ,则 f (2000)=()A. VIB. -A /2C. 3 + >/2D. 3-V210、 己知/(x)是定义在R 上的偶函数，且/(兀+ 4) = /(Q 对任何实数均成立，当0 5兀52时，/(x) = x,当 398 < x < 400 时，/(%)=()A. x-400B.兀一398C ・ 400-x D. 398-x-2X + b11、 已知定义域为/?的函数/(%) = —_—是奇函数。
2 1 +d(I )求的值；(1【)若对任意的re/?,不等式/(r 2-2r) + f(2r-k)<0恒成立，求鸟的取值范围； 12、 设函数/(无)在定义域[—1,1]是奇函数，当xe[-l,0]时,/(x) = -3x 2. (1)当 X G [0,1],求 /(X );⑵对任意cze[-l,l], XG [-1,1],不等式/(x)<2cos 2 0-asmO-\- \都成立，求&的取值范围.1)、求a 的值；2)当OWxW 1时，关于兀的方程/(x) + l = r 有解，求实数/的取值范圉;A. ah = 0B. a + b = 0C. a = hD. a 2 +b 2 =013、已知函数/(%) = ---------F a(a e /?)为奇函数 3A +1。