有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧黄 菊 娣（浙江省上虞市上虞中学 312300）弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．一、弹簧振子及解题方法在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ）A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等D ．若Δt ＝2T，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2T，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2T，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．图1况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解题例2 物体A 与滑块B一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B的质量分别m 和M ，则A 、B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处． （A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x mM ka +-=．对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kxF -=和x mM mkma F f +-==，k mM mK +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x x →，kgm M x )(max +=μ．例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运动．当滑块运动到右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的运动过程相比……………………………………………（ ）A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大D ．新振子的振幅比原振子的振幅小解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小．例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ； ②球做简谐运动的振幅为qE /k ； ③运动过程中，小球的机械能守恒；④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0（设此时弹簧伸长x 0）时，kEqx =0此时球的速度最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝kEqx =0，②正确．由简谐运动的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x 0，又由于电场力做功，所以机械能不守恒，③错．由动能定理k k k E E E W ∆=-=12，电场弹簧W W W +=，故④正确．例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（ ）A ．振子的振幅将增大B ．振子的振幅将减小C ．振子的振幅将不变D ．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A 对．注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．三、竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特征巧妙解题，从而使复杂问题简单化例6 （2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）A ．物块在B 点时动能最大B ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于gC ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．例7 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ）A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2hB ．球在上升过程中弹性势能不断减小C ．球距地面高度为h 时，速度最大D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m 解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．例8 如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅最大为A 的多少倍？解析：平衡位置处：mg ＝kx 0（x 0为弹簧压缩量）最低点时弹力F ＝1.5mg ＝kx 1，振幅A ＝x 1－x 0＝kmg5.0，由简谐运动的对称性可知，最高点时弹簧压缩量为kmgk mg k mg A x x 5.05.002=-=-=，物体在最高点时弹簧压缩最小，故对弹簧压力最小，所以最小压力为mg kx F 5.02min ==．要使物体在振动过程中不离开弹簧，物体到最高点时对弹簧没有压力，即弹簧为原长处，故最大振幅为A kmgx A 200==-='． 例9 如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上．现使小球做上下振动，已知三角架对水平面的压力最小为零，求：（1）此时小球的瞬时加速度；（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多少？解析：（1）当小球上下振动过程中，三角架对水平面的压力最小为零，则此时上下两根弹簧对三角架的作用力大小为Mg ，方向向上，小球此时受弹簧的弹力大小为Mg ，方向向下，故小球所受合力为)g (M m +，方向向下，小球此时运动到上面最高点即位移大小等于振幅处．根据牛顿第二定律，小球的瞬时加速度的最大值为：mgm M a m )(+=，加速度方向为竖直向下．（2）小球由平衡位置上升至最高点时，上面的弹簧（相当于压缩x ）对小球会产生向下的弹力kx ，下面的弹簧（相当于伸长x ）会对小球产生向下的弹力kx ，两根弹簧对小球的作用力为2kx ，故kMgx 2=，小时平衡位置处，上面弹簧（相当于伸长x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，下面的弹kx 0簧（相当于压缩x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，2kx 0＝mg ，kmgx 20=，故振幅k g m M x x A 2)(0+=+=． 在弹簧问题中，综合运用运动学、动力学和能的转化等方面的知识，学生在学习这些问题时，往往会出错，如果能运用其运动规律解题，那许多问题都会迎刃而解．。