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1．不等式的解法
（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；
（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解，
m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；
（3）f x g x ()
()
>0与f x g x g x ()()(()⋅>≠00同解）； 2．一元一次不等式
ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪
⎩⎪
分()()()102030
情况分别解之。

3．一元二次不等式
ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0
及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 2
4的三种情况，即∆>0或
∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式
分式不等式的等价变形：
)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)
()
(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0
)(0
)()(x g x g x f 。

5．简单的绝对值不等式
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|<a ⇔x 2<a 2⇔－a<x<a(a>0)，|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<－a(a>0)。

一般地有：
|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

6．指数不等式a
a f x g x ()
()>⇒()()()11当时，a f x g x >>；
()()()201当时，<<<a f x g x ；
7．对数不等式log ()log ()a a f x g x >⇒（1）当a >1时，
g x f x g x ()()()>>⎧⎨
⎪⎩⎪0；（2）当01<<a 时，f x f x g x ()()()
><⎧⎨⎪⎩⎪0。

8．线性规划
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（1）平面区域
一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式
0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把
直线画成实线。

说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入
Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特
殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念
引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满
足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最
小值。

由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：
20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：
当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，
max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=。

在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束
条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y
的解析式，叫目标函数。

又由于2z x y =+是,x y 的一次
O
y
x
A C
B
430x y -+=
1x = 35250x y +-=
解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问
x y叫做可行解，题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解(,)
由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

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