正、余弦定理的五大命题热点知识点：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 2、 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A －3 B 3 C －336、在△ABC 中，若b = 1， c =3，23C π∠=，则a = 。

7、 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.8、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 . 9、△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ； （2）若33ABC S ∆=+,求,a c .二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2、18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________四、求值问题1、在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 2、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_________。

3、 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北 南东 A BC30° 15° 图2图1 A B CD（三.）追击问题 3、 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 1、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.易错题解析例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。

错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。

则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°=<A又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。

因此得A 的取值范围是（60°，90°）。

例题2 在△ABC 中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。

错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A B = 即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A BA AB B A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。

∴2A ＝2B ，即A ＝B 。

故△ABC 是等腰三角形。

辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。

这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。

正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+或222A k B k Z =+-∈ππ()。

∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π2。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题3 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值。

错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，又S ABC △=12bc A sin ， 图3C°∴312=c sin 60°，解得c ＝4。

由余弦定理，得a b c bc A =+-=+-222116860cos cos °=13又由正弦定理，得sin sin C B ==6393239，。

∴a b c A B C ++++=++++sin sin sin 1314323239639。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。

其原因是公式不熟、方法不当造成的。

正解：由已知可得c a ==413，。

由正弦定理，得213602393R a A ===sin sin °。

∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393。

例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a Ab A sin sin()sin =-=+1506230°°∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin()°又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+。

辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。

这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a Ab A sin sin()sin =-=+1506230°°因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]°sin 75cos(75)cos(75)(875)8A A A =-=-=+-≤+°°°° ∴a ＋b 的最大值为843+。