3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函 数 f(x)在 某 点 x0处 的 导 数 f(x0) 与 导 函 数 f(x)有 什 么 区 别 与 联 系 ？
其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的
瞬时速度定义为
v(t0) lt i0m v lt i0m st lt i0m s(t0tt)s(t0)
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
例如,
y y3 x1
f(x)3 x1,
0
1
x
在x1处不可. 导
3.函数f(x)在连续点的左右 不导 存数 在都
(指摆动不 ), 则 定x0点不可. 导
例如, f(x)xsin1x, x0,
0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x0处不可 . 导
4.若f(x0),且在x点 0的两个单侧导数 符号相, 反 则称x点 0为函数 f(x)的尖点 (不可导).点
y
y
yf(x)
o
x
yf(x)
o
x0
x
例8 讨论函数f (x)xsin1x, x0, 0, x0
在x0处的连续性与可. 导性
解
sin1 x
是有界函, 数lxim 0xsin1x0
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快
慢程.度
★ xy是y在以 x0和x0x为端点的区间上
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
h
lim
loga
(1
) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
特别地
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
5.1 导数的概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
平均速 v度 s t
s t
s0 t0
g 2
(t0
t).
当tt0时 , 取极限得
瞬
时v 速 lim g度 (0 tt) 2 t t0
gt0.
t0 t
t
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动，
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
limy x0x
f(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
f(0 )lif m (x )0f(x)在 x0处连 . 续
但x在 0处 x 0有 xy(0x)sixn01x0
sin
1 x
当 x0时 ,y在1和 1之间振荡而.极限不 x
f(x)在x0处不可 . 导
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 .f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ;
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
ox0Leabharlann xxM N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t)lim sds. t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i(t)lim qdq. t0t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数 解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
即(ax)axln a .
特别地 (ex)ex.
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
h 0
h
h0 h
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
h 0
h
h
limcos(x
h0
h) 2
sin 2
h
cx o . s
2 即(sx ) i n co x . s
思考题解答
由导数的定义知，f (x0)是一个具体的 数值， f (x)是由于f (x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 xI ，有唯一值f (x)与之对应，所以两
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0处的导数f (x0 )即是导 函数 f (x)在x0处的函数值．
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数（三步法）
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
若 f(x0)0且有限 过 (x 时 0,f(x0)的 ) 切线方程为
y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
yy0f(1x0)(xx0).
当 f(x0)0时
切线方程为
yf(x0)
法线方程为 xx0 当 f(x0) 时 切线方程为 xx0
第五章导数和微分
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解 f(x)lim f(xh )f(x)limCC 0.
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处不 ,x 0 为 可 f(x )的 导 .角点
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
法线方程为 yf(x0)
例7 求等边双y曲1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
(
1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4xy40 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .