第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)§1 导数的概念 ( 2 时)一． 导数的背景与定义：1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.有限增量公式: .0 ),( )(0→∆∆+∆'=∆x x x x f y 例1 ,)(2x x f = 求). 1 (f '例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)3()(lim000hh x f x f h --→3.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.例4 设⎩⎨⎧<≥-=.0,,0,cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法..)()(lim )(0xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(nx x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=.五 导函数的介值性:1 极值的定义例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈∀∍>∃x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则.0)( ),,( ='∍∈∃ξξf b a ( 证 )Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='∍∈∃ξξ(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9§2 求 导 法 则( 4时)一 导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“⨯”和“÷”)例1 .95)(23π+-+=x x x x f 求).(x f '例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1π-例3 .122x x y +-=求.dx dy例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx xn n( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (22x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:.sec sec xtgx x dxd=. 二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设,sin 2x y =求y '.例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数. 解 ().1ln ln -=⋅=⋅='='αααααααx xx xeey xx例11 ,1)(2+=x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '例13 ,12xtgy = 求 .y ' 四 取对数求导法:例14 设215312)4()2()4()5(++-+=x x x x y , 求 .y '例15 ().sin ln xx y = 求 .y '例16 设)()(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '五 基本求导法则与公式:1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.Ex [1]P 102 3，4.§3 参变量函数的导数1 设曲线C 的参变量方程为⎩⎨⎧≤≤==)().(),(βαψϕt t y t x ,设函数)( ),(t y t x ψϕ==可导且,0)(⇒≠'t ϕ.)()(t t dx dy ϕψ''=证:(证法一) 用定义证明.（证法二） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或.0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为x t (1-=ϕ), 有(),)()(1x t y -==ϕψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有.)()(t t dtdx dt dydx dt dt dy dx dy ϕψ''==⋅=例1 .sin ,cos t b y t a x == 求.dxdy2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:⎩⎨⎧====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()(tan )(θθρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θρe =上所有点的切线与向径的夹角ϕ为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.§4 高 阶 导 数一 高阶导数:定义: .)()(lim)(0000xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆()().)()( ,)()()1()('=''=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f高阶导数的记法.二 几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数nx y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算())(sin n x 、())(cos n x 、())(sin n kx 、())(cos n kx 的公式.例3． x e 和kxe 的高阶导数： 例4．x1的高阶导数： 例5))((1b x a x ++的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0 ,,0 ,)(22x x x x x f 求)(x f ''为例.三 高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则1． ()).()()()(x ku x ku n n =2．()).()()()()()()(x v x u x v x u n n n ±=±3． 乘积高阶导数的Leibniz 公式： 约定 ).()()0(x u x u =()∑=-=nk k k n k n n x v x u C x v x u 0)()()().()()()( （ 介绍证法.） 例7 ,cos x e y x= 求 .)5(y解 ⇒====== .10 ,5 ,1352545155505C C C C C C).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )5(x x e x x x x x x e yx x -=-++--=例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求.22dx yd 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1()2(2≥=-+--++n y n xy n y x n n n并依此求 ).0()(n y解 .11 ,1122='--='y x xy 两端求导,011 22=-'-''-⇒xy x y x 即.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有=---+-+-+++)(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C yx .0)12()1()(2)1()2(2=-+--=++n n n y n xy n yx可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)2( n n y n y=+注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有k n 2=时, ;0)0()(=n y12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '⋅⋅--= [].!)!12(2-=k四. 参数方程所确定函数的高阶导数:=''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(22t t t dtdx dx dy dt d dx y d ϕϕψ().)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-''' 例6 .sin ,cos t b y t a x == 求 .22dx yd 解 .ctgt abdx dy -=.sin 3222t a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.§5 微 分一 微分概念:1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义:二 微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例1 已知,cos ln 22x x x y += 求dy 和 .y '例2 已知,)sin(b ax ey += 求dy 和 .y '三 高阶微分：高阶微分的定义： ()()=⋅'='==dx x f d dxx f d dy d y d )()()(2.)())(()(22dx x f dx x f dx dx x f ''=''=⋅''=n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分， 即().)()(1n n n ndx x f y dd y d ===-（注意区分符号 )( ),0( ,)(2222x d x d dx dx ==的意义.）例3 已知.)( ,sin )(2x x u u u f y ====ϕ 求 .2y d以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2x u =, 就有;sin 4)2(sin )(sin )()(sin 22222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微 分不具有形式不变性.四 微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈∆ 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式 .)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如:x e x nx x x x n+≈+≈+≈1 ,111,sin 等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.0x x f x f x x f ∆'+=∆+ 例4 求97.0 和 3127的近似值.例5 求29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：绝对误差估计： ,)(0x x f y ∆'≈∆相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(⇒=>=x f y x f y.)(ln x f d ydyy y =≈∆ 例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 4. 求速度: 原理: .)(,)( ),(dtdx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ)Ex [1]P 116 1—5.。