复变函数期末复习提要
中央电大数理教研室
第4章：解析函数的积分理论
⒈理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；
⒉了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；
⒊掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；
⒋熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。

积分基本定理
定理4.2 设G 为复平面上的单连通区域，c 为G 内的任意一条围线
（图4-3），若)(z f 在G 内解析，则
0d )(=⎰c
z z f
定理4.4 设有围线n c c c c ,,,,210 ，其中n c c c ,,,21 中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在0c 的内部；又设G 为由0c 的内部与n c c c ,,,21 的外部相交的部分组成的复连通区域（图4-4），若)(z f 在G 内解析，且在闭区域G 上连续，则
0d )(10=⎰--+++n c c c z z f （4.6） 积分基本公式
定理4.5 设G 是以围线c 为边界的单连通区域（图4-6），若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则
G z z z z z f z f c ∈-=
⎰000d )(i π21)( （4.11） 例1 计算积分⎰=-2
2d 1z z z z 。

解 首先，识别积分类型．由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点1-=z 与1=z ，所以，想到用“挖奇点”法来计算。

其次，为了用“挖奇点”法，作2
11:,211:21=-=+z c z c ，由定理4.4有 ⎰⎰⎰-+-=-=2
1d 1d 1d 12222c c z z z z z z z z z z 最后，计算上式右端两个积分，对这两个积分分别重复例4.4的解题步骤，得 ⎰⎰
+-=-1
1d 11d 12c c z z z z
z z z 1
]1[
i π2-=-=z z z i π=
⎰⎰-+=-22d 1
1d 12c c z z z z z z z 1
]1[
i π2=+=z z z i π=
故 i π2d 1
22=-⎰
=z z z z 高阶导数公式
定理4.6 设G 是以围线c 为边界的单连通区域（图4-7），若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则)(z f 在区域G 内有各阶导数，并且有
G z z z z z f n z f c n n ∈-=⎰+0100)(d )()(i π2!)( （4.15）
例2 计算积分⎰=--113
4
d )
1(z z z z 。

解 由高阶导数公式
141134
])[(!2i π2d )
1(==-''=-⎰z z z z z z i π12=
刘维尔定理
定理4.9 若)(z f 在复平面上解析，且有界，则)(z f 必为常数。

最大模原理
定理4.12 设G 为区域，c G G +=为有界闭区域，函数)(z f 在G 内不是常数，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则
G z M z f ∈<,)(
其中的M 为)(z f 在G 上的最大值。

最大模原理为我们提供了一种证明在区域G 内解析的函数)(z f 为常数的方法：只须证对G 内某点0z 有M z f =)(0即可，其中的M 为)(z f 在G 上的最大值。

莫瑞拉定理
定理4.15 设)(z f 在单连通区域G 内连续，c 为G 内任意一条围线，若
0)d (=⎰c
z z f
则)(z f 在G 内解析。

莫瑞拉定理不仅给出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理4.2（积分基本定理）一起可得解析函数的又一等价定义。