实验5 霍尔系数和电导率测量1． 实验目的⑴ 通过实验加深对半导体霍尔效应的理解；⑵ 掌握霍尔系数和电导率的测量方法，了解测试仪器的基本原理和工作方法。
2． 实验内容测量样品从室温至高温本征区的霍尔系数和电阻率。
要求：⑴ 判断样品的导电类型；⑵ 求室温杂质浓度，霍尔迁移率；⑶ 查阅迁移率或霍尔因子数据，逼近求解载流子浓度和迁移率；⑷ 用本征区()T R H 数据，由(21)式编程计算样品材料的禁带宽度；⑸ 本征导电时，()Lp Ln qn μμσ+≈。
μ与23-T 成正比，所以()kT E T C g 2exp 23''-=-σ，那么由()T T 1~ln 23σ或由T 1~ln σ实验曲线的斜率求出禁带宽度E g 。
⑹ 对实验结果进行全面分析、讨论。
3． 实验原理⑴ 霍尔效应如图1所示的矩形半导体，在X 方向通过一密度为j x 的电流，在Z 方向加一均匀磁场（磁感应强度为B ）,由于磁场对运动电荷（速度为x v ）有一个洛伦兹力，在Y 方向将引起电荷的积累，在稳定情况下，将形成平衡洛伦兹力的横向电场Y E 。
这就是大家熟知的霍尔效应。
其霍尔系数定义为()1Z X YH B J E R ⋅=由0=-B qv qE x Y ，可以导出H R 与载流子浓度的关系式，它们是P 型 ()21qpR H = N 型 ()31qn R H -= 如果计及载流子速度的统计分布，关系式变为P 型 ()41qp R p H H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μμN 型 ()51qn R n H H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μμ同时考虑两种载流子时有 ()()()622nb p q nb p R H H +-⋅=μμ 式中，q 是电子电荷，p n b μμ=，p n μμ,分别是电子和空穴的迁移率，H μ是霍尔迁移率。
()p n H ,μμ称为霍尔因子，其值与能带结构和散射机构有关。
例如非简并半导体，长声学波散射时，18.183==πμμH ；电离杂质散射时，93.1=μμH ；对于高简并半导体和强磁场条件时，[]11=μμH 。
对于主要只有一种载流子的n 型或p 型半导体，电导率可以表示为n qn μσ=或p qp μσ=，这样由（4）或（5）式有()7ρμσμ⋅==H H H R()8ρμH H R = 由上述关系式可见，霍尔系数和电阻率的联合测量能给出载流子浓度和霍尔迁移率，而且结合迁移率对掺杂浓度、温度的数据或霍尔因子掺杂浓度、温度的数据，可以逼近求得载流子浓度和载流子迁移率。
载流子浓度是温度的函数。
室温饱和区杂质全部电离，D s N n =，A s N p =，其值可由H R 给出。
但是随着温度升高，进入过渡区和本征区，在这种情况下，少数载流子的影响不可忽略，霍尔系数由（6）式决定。
以至单独的霍尔测量数据不能给出两种载流子浓度，必须结合高温下电导率数据、室温霍尔以及迁移率数据，才能给出n 、p 之值。
这时n 型半导体：()9pn n s += p 型半导体：()10n p p s +=在只计入晶格散射时，电导率为()11LpLn qp qn μμσ+= 将(9)式代入（11）式可得n 型半导体：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=131121b bn q p b n q n s Lp s Lp μσμσ 同理，将（10）式代入（11）式可得p 型半导体：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=151141b p q n b bn q p s Lp s Lp μσμσ式中Lp Ln b μμ=。
Ln μ、Lp μ分别为电子、空穴的晶格散射迁移率。
这样由()T σ、HS R 实验数据及查阅的迁移率数据，在b 已知时，就可以求出过渡区和本征区的()T n 、()T p 了。
此外，p 型样品的()T R H 实验数据还能求出b 值。
对于p 型样品，当温度在杂质导电范围内时，导带的电子很少，2nb p >，因此0>H R 。
温度升高后，本征激发的载流子随之产生，电子数量逐渐增加，当2nb p =时，0=H R ；温度再升高，则有2nb p <，0<H R 。
所以，p 型半导体当温度从杂质导电范围过渡到本征范围时，H R 将改变符号，并出现如图2所示的极值。
这样，由0=∂n R H 可得 ()()()164112max bb qN R A H -⋅-= 而室温下A HS qN R 1=，所以 ()()()17412max b b R R HS H -=利用这个关系式就可求得b 。
因此，p 型半导体，由饱和区的p s 及高温下的()T σ以及查阅的迁移率数据，就可由（14）、（15）式得到()T n 、()T p 。
从而可以应用本征区载流子浓度积的理论公式，进而求得材料的禁带宽度E g ，即()()()18exp exp 3kT E CT kT E N N np g g V C -=-=不过，求E g 的方法还可以简化。
因为进入本征区以后，电子和空穴成对地产生，所以导带中的电子浓度n 等于价带中的空穴浓度p 。
又高温区只计及晶格散射，可忽略霍尔因子对温度的变化。
这样（6）式变为()()1911b qn bR H +-=通常，在一定的温度范围内，b 与温度无关。
于是本征区的霍尔系数又可给出载流子浓度。
因此，（18）式可以写为()()202exp 23'kT E T C R g H -=()2112ln ln '23T k E C T R g H ⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 于是，TT R H 1~ln 23⎪⎭⎫ ⎝⎛关系曲线的斜率将给出禁带宽度E g 。
式中k 为玻尔兹曼常数，C 及C ’ 则表示导带、价带有效状态密度N C 、N V 中与温度T 无关的常数及其它与T 无关的常数所构成的参数。
低温杂质电离区，H R 、σ测量可得杂质电离能和低温H μ以及杂质补偿度[2]。
⑵ 霍尔电压及电阻率测量① 样品及计算公式与霍尔测量相配合的电阻率测量有两探针法和范得堡法。
为了实现霍尔电压及电阻率的准确测量，常采用四个点接触电极位于周边的范德堡薄膜试样。
若其测量花样具有对称性，如圆形或方形等，且四点接触电极作周边对称放置，那么计算公式会有很简单的形式。
作电阻率测量时，电极按图3（a ）配置。
由附录（1）证得电阻率及薄层电阻R S 表示式为()222ln I V t ⋅=πρ ()232ln I Vt R S ⋅==πρ作霍尔测量时，电极按图3（b ）配置。
由于其严格的对称性，霍尔电极就在等电位面上（见图4）。
这样B=0时，0=H V ；0≠B 时，测得的就是霍尔电压H V 。
由（1）式可得()24t BI R V X H H =式中，t 为样品厚度，I X 是样品X 方向的电流。
范德堡结构除了上述点接触的形式以外，还有电极尺寸较大的十字形（如图5所示）。
其电极虽非点接触，但通过其等效电路模拟，计算出来的I V 能收敛到]3[2ln πS R 。
因此十字形结构的薄层电阻率及薄层电阻，仍可用（22）、（23）式来进行计算。
若该结构理想的范德堡薄层电阻用R S （计算）表示，其测量误差就定义为()S S R R E 计算-=1。
图5示出了E 对十字形臂长S 与宽度A 之比的关系曲线。
由图可见，当1=S A 时，001.0=E ，测量精度是很高的了。
十字形结构同样也对霍尔测量有利。
不仅电极简化，易于制作，而且较之非理想点接触结构，其霍尔系数误差显著减小。
对于1=S A 的样片，1=B 特斯拉时，V H 对B 的非线性误差为0.3%。
当霍尔角正切小于0.1时，R H 的误差与B 无关，只与样品的几何尺寸有关[4]。
另外，与矩形或圆形的点接触电极的样品相比，在所给电流相同时，电流密度较小，加之样品导热性较好，因而焦耳热减小，温度梯度减小。
从而减小了因热磁效应引入的霍尔电压测量误差以及电极接触噪声。
② 霍尔电压的直流测量法与霍尔效应同时存在的热磁效应，主要有爱廷豪森效应、里纪-勒杜克效应和能斯脱效应。
爱廷豪森效应是指样品在 X 方向的电流I 和Z 方向磁场B 作用下，在它的Y 方向将产生温度差，从而引入温差电势V e 。
V e 与I 和B 的乘积成正比，其符号与I 和B 的方向有关。
里纪-勒杜克效应和能斯脱效应，均是在X 方向存在热流Q ，在Z 方向磁场B 作用下所产生的效应。
不同的是，前者在Y 方向产生温度差而引起温差电动势V r ，其符号与B 的方向有关；后者是直接在Y 方向引入电势差V n ，QB V n ∝，其符号也与B 有关。
如果还有外加的温度梯度，必然引入一个环境温差电误差电压V T 。
除此之外，还应考虑在零磁场下，霍尔电极不在同一等位面上所产生的失配电势V 0。
R I V ⋅=0（R 是不等势面间在电流方向的电阻），其符号与I 的方向有关。
这样，在霍尔电极间测得的电压不仅是V H ，还将包含有V e 、V r 、V n 、V T 、V 0这些误差电压的贡献。
在这些误差电压中，只有IB V e ∝，V r 、V n 、V 0 只与B 或I 有关，V T 与I 、B 均无关。
因此，通过改变电流极性及磁场方向可以消除V r 、V n 、V 0 及V T 的影响。
为此按表1的极性组合进行测量可以导出：()2543241e H m m m m V V V V V V +=--+表1霍尔系数测量时电流和磁场的极性组合e 导热性尚好的十字形样品Y T ∂∂较小，较为接近等温条件，故可认为爱廷豪森效应的影响可以忽略。
因此霍尔系数的测量误差由有关各测量量的测量误差所引起，即()26B B I I t t V V R R X H H H H ∆+∆+∆+∆=∆⑶ 测准条件分析从（26）式看出，要想准确测量R H ，就要设法准确测量V H 、I 、B 及t 。
然而V H 与B 、I 、t 均有关系，是集中体现测量误差的量。
因此我们从测准V H 着手进行分析。
首先要求样品材料均匀，几何尺寸严格对称，电极要求欧姆接触，且样品要正确置于磁场中，并要求光屏蔽。
如果样品不均匀，缺乏对称性，交换电压、电流电极测得的R H1、R H2偏差%10±，那么进一步研究就没有意义；如果电极不是欧姆接触，测得的V H 就不真实；如果样品放置处的磁场不均匀，样品表面不垂直于B ，或其测得的B 不正好是样品放置处的磁感应强度，那么V H 测量必然引入误差；不进行光屏蔽，光电导、光生伏特效应也会引入误差。
因此霍尔系数测量必须用材料均匀、电极欧姆接触、严格对称的范德堡结构，并且垂直置于均匀且得到准确度量的暗磁场中。
以上是测准V H 的基本条件，此外还要求是弱磁场、小电流。