第七节 方向导数 与梯度
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
)
l
i ml
0imf0 (fx(0x 0cosc os, y0,y0 cocsos))f(fx(0x,0y,0y)0)
y
y
Pl
y0 P0
O
x0 x
co sx x 0
x
cos y y 0
3
定理 设与射线 l 同方向的 单位向量l 0 (cos,cos)
y y0
l 0
y x2 1
它在点 P 的切向量为 ( 1 , 2 x ) x 2 (1, 4) l
y
3P
l0 ( 1 , 17
4) 17
o 1
2
x
z l
P
grad f l 0 361 64 17
60 1 78
例3.设 n 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P(1, 1, 1 )处
2. 求出方向 单位化
3. 代入公式
l (a , b , c )
l 0 1 l (cos,cos , cos )
|l |
f gradf l 0 l P0
f
x
cos
f
y
cos
f z cos
6
例1. 求函数 ux 2 y z 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l (2,1,3)
的方向导数 .
二元函数 f (x, y) 在点 P ( x, y) 处的梯度
grad f
f x
i
f y
j
(
f x
,
f y
)
例如 z 3 x 2 y y 2 的梯度 gra d z ( 6 x y , 3 x 2 2 y )
u x 2 y z 的梯度 gra d u ( 2 xy z , x 2 z , x 2 y ) 2
f x
f(x 0 l 与 lxx i m,y 轴0 f 反( x 向y 0) ( f(cxo 0s,, y0,)y02fx)(,x0c,oysfl0)x) fffx y(((xxx000,,,yyy00)0))y
o(f) x
lf l l
与 与(
y
xy0
,
y轴 轴00 ) 同 反向 向ffxx((((xx00,,yy2200,),)ccooss0)),,f fy(yfl(xxfl 00, ,yy0ff0)ycy)((oxxsc00o,,syy00o))(o ()fy)4
u
n 0 ( 12 24
2, 14 1
3 14 11
,
1 )
14
n P 14 14
7
9
92页.4 求函数u x 2 2 y 2 z 在点M 0 (1,2,9) 处 沿过该点 等值面法线方向的方向导数.
解:
grad
u
M
0
(
2
x
,
4
y,1)
(1 ,2 ,9 )
(2,8
,
1)
过点M0 的等值面 x2 2y2 z 0 的法向量
P y
l
P0 x f
若函数 f (x, y) 在点P 0 可微 ,则函数 f (x, y) 在点P 0 沿l 方向的方向导数
fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
l (x0, y0)
O
x0
x
特证别明: l f与(xx, y轴) 同在向点(P0 可0微,
2
)
,
f l
fx(x0,y0)
14
14
14 14
7
例2. 求函数 z 3 x 2 y y 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x 2 1
朝 x 增大方向 的方向导数.
解: z 3 x 2 y y 2 的梯度
grad z ( 6 x y , 3 x 22 y ) ( 2 , 3 )
(36, 6 )
xx
已知曲线 的参数方程为
解: u x 2 y z 的梯度
grad u ( 2 xyz, x 2 z , x 2 y ) ( 1 , 1 , 1 ) (2, 1 , 1 )
| l | 4 1 9 14
l0 ( 2 , 1 , 3 ) 14 1 4 1 4
u l P
grad f l 0 2 2 1
1
1 3
6
二、方向导数 射线 l 的起点为 P 0 , 方向角为
P(x, y)为该射线上一点,| P P 0 |
,, (
0)
x x0cos y y0cos
为射线l参数方程, 设函数 zf(x,y)在 P 0 的某个邻域内 有定义, 若极限 存在, 则此极限 为函数 f (x, y) 在点P 0
沿l方向 的方向导数,记为
n (2x,4
y , 1 )
(2, 8 ,
(1 ,2 ,9 )
1)
n0 ( 2 , 8 , 1 ) 69 69 69
u n
=gradu M0n o M 0
M0
(
4
69
64
69
1 ) 69 69
10
三、方向导数 梯度的意义
函数 f (x, y) 在点 P
沿l方向
的方向导数,Leabharlann f lPf l
l
0
0
P
若函数 f(x,y,z) 在点 P 0 可微
则函数 f(x,y,z)在点P 0 沿方向l 的方向导数
fx(x0,y0,z0)cosfy(x0,y0,z0)cos
0
fz(x0,y0,z0)cos
5
方向导数 的算法
1. 求出梯度 gra d f ( f x , f y , f z ) ( x 0 , y 0 , z 0 )