例 4 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
x,
y,
z)
u
i
u
j
u
k
x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6zk,
故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k.
三、梯度的概念
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快?
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点P( x, y) D ，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f (x, y) 在点 P(x, y) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f (x, y) c 在这点的法 线的一个方向相同，且从数 值较低的等高线指向数值较 高的等高线，而梯度的模等 于函数在这个法线方向的方 向导数．
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
x (1,0)
(1,0)
z 2 xe2 y 2,
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z cos( ) 2sin( ) 2 .
l
4
4
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1） 沿与x 轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
P
n
4x P 4, Fx, Fy,
Fy Fz
P 6yP
4, 6,
6,
2,
n
Fz
P
42
2z P
62 22
沿任意方向l { x, y, z}的方向导数,
z l
(0,0)
lim
0
f (x,y)
f (0,0)
lim (x)2 (y)2 1
0 (x)2 (y)2
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
Assignment
• P108 6 8
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e
)
f 1时， l
有最大值.
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
gradf P
当f 不为零时， x
gradf
f
x 轴到梯度的转角的正切为 tan
1
f
2 x
f
2 y
cos
fy
,1ຫໍສະໝຸດ f2 xf
2 y
其中
cos
1
.
1
f
2 x
f
2 y
f x f x ( x0 , y0 )
f y f y ( x0 , y0 )
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
定理 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
存在，且有 f f cos f sin ，
l x
y
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
f x (1,1)cos f y (1,1)sin (2x
cos sin 2 sin(
y) (1,1)
),
cos
(2 y
x) (1,1)
sin ,
故（1）当 时， 方向导数4达到最大值 2 ;
4
（2）当 5 时， 方向导数达到最小值 2;
f
lim f ( x x, y y)
cos f (x, y)
sin
l 0
f cos f sin .
x
y
例 1 求函数z xe2 y 在点P(1,0) 处沿从点
P(1,0)到点Q(2,1) 的方向的方向导数.
解 这里方向l 即为PQ {1,1},
故x 轴到方向l
的转角
.
4
z e2 y 1;
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点P( x, y, z) G ，
都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z)
f
i
f
j
f
k.
x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
2, 2 14,
方向余弦为 cos 2 , cos 3 ,cos 1 .
u x P
故
u
z
6x 6x2
8 y2
P
6; 14
14
u y P
(ucos ucos ucos )
z
8y
6x2 8y2
u
z
11 .
P
14
8;
P
6
x
2
14 8
y
2
z2
P
14
14.
n P x
y
z
P7
| PP | (x)2 (y)2 ,
y
l
且 z f ( x x, y y) f ( x, y),
• P
考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
••
P x
o
y
x
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
（3）当 34 和 7 时， 方向导数等于 0.
4
4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点
P( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
为 f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
类似地,设曲面 f ( x, y, z) c为函数u f ( x, y, z) 的等量面，此函数在点P( x, y, z)的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x, y, z) c在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
第七节 方向导数与梯度
一、空间曲线的切线与法平面
x (t)
1.设空间曲线的方程
y
(t
)
(1)
z (t)
(1)式中的三个函数均可导.
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
z
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
M'
T (t0 ), (t0 ),(t0 )
y)
f x
i
f y
j
.
设e
cosi
sinj 是方向
l
上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
l x
y
x y
gradf ( x, y) e
| gradf ( x, y) | cos ,
其中
( gradf ( x, y), e )
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）