多元函数的基本概念(130)
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例 3 设 wf(xyz,xy)， zf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和 2w. x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f (u,v) f1 u ,
2 f (u,v) f12 uv ,
同理有 f 2 , f 1 1 , f 2 2 .
y 的偏导数，且z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续 偏导数，则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)] 在对应 点( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
z zuzv, x ux vx
z z uz v. y uy vy
多元函数的基本概念(130)
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链式法则如图示：
多元函数的基本概念(130)
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则方程组 F ( x, y,u,v) 0， G( x, y,u,v) 0
在点 P0 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且
具有连续偏导数的函数u u( x, y)，v v( x, y)，
它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v( x0 , y0 ) 并有
点 P0 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F J (F,G) u
(u,v) G u
F v 0, G v P0
实质：无论 z是自变量 u 、 v的函数或中间变量 u 、 v的函数，它的全微分形式是一样的, 即
多元函数的基本概念(130)
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dz z dxzdy x y
uzu xvzxvdx uzuyvzvydy
uzuxdxuydy vzxvdxvydy
z du z dv.
u
v
多元函数的基本概念(130)
x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看 成 x , z 的 函 数 对 z 求 偏 导 数 得
1
fu
(
y z
1)
fv(xy
xz
y), z
整理得
y 1 fu xyfv .
z
fu xzfv
多元函数的基本概念(130)
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隐函数存在定理 3 设F ( x, y,u,v)、G( x, y,u,v)在
v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
多元函数的基本概念(130)
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例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x
x
zfuf, x ux x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf. y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中 中 的 u 及 y 看 作 不
的 y 看作不变而对 x的偏导数 变 而 对 x 的 偏 导 数
多元函数的基本概念(130)
w x
f uf v u x v x
f1
yzf2;
多元函数的基本概念(130)
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2w xz
z ( f1 yzf2 )
f1 z
yf2
yzf2 z
;
f1 z
f1 uf1 v u z v z
f11xyf12;
f2 z
f2 uf2 v u z v z
f21xyf22;
于是
2w xz
f 1 1 x y f 1 2 y f 2 y z (f 2 1 x y f 2 2 )
第7章 多元函数微分法及其 应用
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 7.2.3 方向导数与梯度
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数
复合函数的偏导数:
定理 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点t 可导，
函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数 z f [(t), (t)] 在对应点t 可导，且
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例4
已知 e xy 2z ez 0 ，求 z
和
z
.
x y
解 Q d (e x y 2 z e z) 0 ,
e x y d ( x y ) 2 d z e z d z 0 ,
(e z 2 )d z e x y(x d y y d x )
yexy
xexy
dz(ez2)dx(ez
dy 2)
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
多元函数的基本概念(130)
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类似地，设 u (x, y) 、v ( x, y)、w w( x, y) 都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，则复合函数
z f [( x, y), ( x, y), w( x, y)]
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例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
eusinvyeuco sv1eu(ysinvcosv),
z y
z u
u y
z v
v y
e u s in v x e u c o sv 1eu(xsinvcosv).
xv x2
yy2u,
v y
xx2uyy2v.
多元函数的基本概念(130)
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例 2 设 z uv sin t ，而 u et ，v cos t ，
dz 求全导数 dt .
解
dz z du z dv z
dt udt v dt t
vetu sin tco st
e tc o st e ts in t c o st
et(co stsint)co st.
把 z 看 成 x , y 的 函 数 对 x 求 偏 导 数 得
z x
fu (1
z ) x
fv(yzxyxz),
整理得
z fu yzfv , x 1 fu xyfv
多元函数的基本概念(130)
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把 x看成 z, y的函数对 y 求偏导数得
0
fu
(
x y
1)
fv
(xz
yz
x), y
整理得
则
Fx(x,
y)
x x2
y y2
,
Fy(x,
y)
yx x2 y2
,
dy dx
F
x
F
y
x y. y x
多元函数的基本概念(130)
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隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在 P0( x0 , y0 , z0 )
点的某一邻域内具有连续偏导数，且 F ( x0, y0, z0 ) 0， Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0在点 P0 的某一 邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导
在对应点( x, y)的两个偏导数存在，且有计算公式：
zzuzvzw, x ux vx wx
z
zzuzvzw. y uy vy wy
ux v wy
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特殊地 zf(u ,x ,y) 其中 u(x,y) 即 zf[(x ,y),x ,y], 令 vx, wy,
v 1, w 0,
则 பைடு நூலகம்x 2x,
Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2z) x x
2z (2 z)2
(2z)2 x2 (2z)3
.
多元函数的基本概念(130)
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例 4 设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
思路 (1) 代入公式求解；
u1(F ,G )F x F v F u F v , x J(x,v) G x G v G u G v
多元函数的基本概念(130)
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v1(F ,G )F u F x F u F v , x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v
（2） 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得 x ， y
把 y 看成 x, z的函数对z求偏导数得 y . z
多元函数的基本概念(130)
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解 令 u x y z ,vxy, z则
z f ( u ,v ) f ( x + y z ,x y z ) .
某一邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx(x, y) . dx Fy(x, y)
多元函数的基本概念(130)
隐函数的求导公式
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例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的隐
其导数可用下列公式计算： dz z duz dv. dt udt vdt
多元函数的基本概念(130)
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证 设t获得增t量 ，则
u (t t) (t), v ( t t)( t);