1 例3 求grad 2 2 ． x +y
1 解 这里 f(x，y)= 2 2 ． x +y ∂f 2x ∂f 2y =− 2 =− 2 因为 2 2 ， 2 2 ， ∂x ∂y (x + y ) (x + y ) 1 2x 2y v v =− 2 − 2 所以 grad 2 2 2 2 i 2 2 j ． x +y (x + y ) (x + y )
三元函数的梯度： 设函数u=f (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数， 对于每一点P (x，y，z) ∈G ，函数 u=f (x，y，z)在该点的梯度 grad f (x，y，z) 定义为：
∂f v ∂f v ∂f v grad f (x，y，z)= i + j + k． ∂x ∂y ∂z
(x, y)
v r
ϕ
y y ∂r = =sin θ ． = 2 2 r ∂y x +y
θ
x
O ∂r 所以 =cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ =cos(θ−ϕ)． ∂l 讨论：ϕ=θ 和ϕ =θ ±
π
2 时的方向导数．
三元函数的方向导数： 对于三元函数u=f (x，y，z) ，定义它在空间一点P (x，y，z) 着方向(设方向的方向角为α 、β 、γ )的方向导数如下 ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) − f ( x, y, z ) = lim ， ∂l ρ →0 ρ 其中ρ = ( ∆x) 2 + (∆y ) 2 + (∆z ) 2 ，∆x=ρ cos α ，∆y=ρ cos β ， ∆z=ρ cos γ ． 如果函数在所考虑的点处可微分， 有
其中向量
∂f v ∂f v i+ j ∂x ∂y
称为函数f (x，y) 在点P 的梯度，记作grad f (x，y)，即 ∂f v ∂f v grad f (x，y) = j． i+ ∂x ∂y
梯度与方向导数： v v v 设 e =cos ϕ i + sin ϕ j 是与 l 方向同方向的单位向量，则 ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ={ ， }·{cos ϕ ，sin ϕ } ∂l ∂x ∂y ∂x ∂y v = grad f (x，y) · e v =| grad f (x，y)| cos ( grad f ( x, y ), ^ e ) ．
∂f f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂f ∂f = lim = cos ϕ + sin ϕ ∂l ρ →0 ρ ∂x ∂y
讨论：
∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ， ∂y ∂l ∂x 讨论函数 z=f (x，y)在点P 沿x 轴正向和负向， 沿 y 轴正向和负 向
方向导数与偏导数的关系： 定理 如果函数z=f (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么函 数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有
∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ， ∂y ∂l ∂x
其中ϕ为x 轴到方向l 的转角． 简要证明：
∂f ∂f f(x+∆x，y+∆y)−f(x，y) = ∆x + ∆y + o( ρ ) ∂x ∂y f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂f ∂f o( ρ ) = cos ϕ + sin ϕ + ρ ∂x ∂y ρ
lim 考虑 ρ →0
f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
ρ
Байду номын сангаас
，
y P′ l ∆y
若此极限存在， 则称此极限为函数 f (x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数， ∂f 记作 ，即 ∂l ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) = lim ， ρ →0 ∂l ρ 其中ρ = (∆x) + (∆y ) ．
2 2
ρ ϕ
P O ∆x
x
方向导数与偏导数的关系： 定理 如果函数z=f (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么函 数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有
∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ， ∂y ∂l ∂x
其中ϕ为x 轴到方向l 的转角． 简要证明：
∂f ∂f f(x+∆x，y+∆y)−f(x，y) = ∆x + ∆y + o( ρ ) ∂x ∂y f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂f ∆x ∂f ∆y o( ρ ) = ⋅ + ⋅ + ρ ∂x ρ ∂y ρ ρ
的方向导数如何? 提示： 沿x 轴正向时， cos ϕ =1， sin ϕ =0，
根据公式
∂f ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ = ； ∂y ∂l ∂x ∂x
沿x 轴负向时，cos ϕ =−1， sin ϕ =0，
∂f ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ = − ． ∂y ∂l ∂x ∂x
∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + sin β + cos γ ． ∂y ∂l ∂x ∂z
二、梯度
设函数z=f (x，y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对 于任一点P (x，y) ∈D 及任一方向l ，有
∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ∂y ∂l ∂x ∂f ∂f ={ ， }·{cos ϕ ，sin ϕ }， ∂x ∂y
势与势场： 利用场的概念，我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个 向量场——梯度场，它是由数量场f(M)产生的．通常称函数 f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场．必须注意， 任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的 梯度场．
§8．7 方向导数与梯度 ．
一、方向导数
方向导数与偏导数的关系、三元函数的方向导数
二、梯度
梯度与方向导数、梯度的模、方向导数的最大值 等高线、梯度与等高线的关系 三元函数的梯度、等量面 数量场与向量场、势与势场
一、方向导数
设函数z=f (x，y)在点P (x，y)的某一邻域U(P)内有定义． 自点P引射线 l ．设 x 轴正向到射线 l 的转角为 ϕ ，并设 P ′(x+∆x，y+∆y) 为 l 上的另一点且P ′∈U(P)．
结论： 结论 三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向 导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．
等量面： 曲面 f (x，y，z)=c 为函数u=f (x，y，z)的等量面． 函数u=f (x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等 量面 f (x，y，z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低 的等量面指向数值较高的等量面， 而梯度的模等于函数在这个 法线方向的方向导数．
梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)=c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为 fy 1 1 − =− = dy fx (− ) f x dx fy ∂f v ∂f v 所以梯度 j 为等高线上点P 处的法向量． i+ ∂x ∂y 函数z=f (x，y)在点P (x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f (x，y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数．这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．
例4 设f (x，y，z)=x2+y2+z2 ， 求grad f (1，−1，2)． 解 grad f ={fx，fy，fz }={2x，2y，2z}， 于是 grad f (1，−1，2)={2，−2，4}．
数量场与向量场： 如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、 密度场等)．一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定． v 如果与点M相对应的是一个向量 F (M)，则称在这空间区域G 内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)．一个向量场可用一 v 个向量函数 F (M)来确定，而 v v v v F (M)=P(M) i +Q(M) j +R(M) k ， 其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数．
例1 求函数z=x e 2y在点P (1，0)沿从点P (1，0)到点Q(2，−1) 的方向的方向导数．
解 这里方向 l 即向量 PQ ={1，−1}的方向，因此 x 轴到方向
→
l 的转角为ϕ=− 因为
π
4
．
y P O -1 1 2 Q x
∂z ∂z 2y， =e =2x e 2y． ∂x ∂y
2 2
等高线： 曲面z =f (x，y)上的曲线 z = f ( x, y ) z = c 在xOy面上的投影曲线f (x，y)=c称为函数z=f (x，y)的等高线．
梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)=c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为 fy 1 1 − =− = 法线的方向向量是什么？ dy fx fx (− ) dx fy ∂f v ∂f v 所以梯度 j 为等高线上点P 处的法向量． i+ ∂x ∂y grad f (x, y) y y f (x，y)=c1 (c1>c) f (x，y)=c fx grad f (x，y) P fy O x O x
讨论： 已知方向导数为 ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ ∂l ∂x ∂y ^ v =| grad f (x，y)| cos ( grad f ( x, y ), e ) ．