第一讲圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
1
（1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x＋D
2)
2＋(y＋
E
2)
2＝
D2＋E2－4F
4
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D
2，－
E
2)为圆心，
1
2D
2＋E2－4F为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D
2，y＝－
E
2，即只表示一个点(－
D
2，－
E
2)；③当D
2＋
E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
（三）温馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中
点，则x＝12
2
x x
+
，y＝12
2
y y
+
.
二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法
【例1】圆()()()
2220
x a y b m m
+++=≠的圆心是，半径是.
【例2】点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
【变式1】已知圆的方程为()()()()
12240
x x y y
--+-+=，则圆心坐标为
【变式2】已知圆C与圆()22
11
x y
-+=关于直线y x
=-对称，则圆C的方程为
【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方
程是( )
A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －7
32＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D.⎝⎛⎭
⎫x －3
22＋(y －1)2＝1 【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的
运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )
A .14＜m ＜1
B ．m ＜14或m ＞1
C ．m ＜1
4 D ．m ＞1
【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )
A ．x ＋y －1＝0
B ．x ＋y ＋3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．
【变式1】 已知点P 是圆2
2
:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =
【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -，且圆心在320x y --=上，求圆的方程.
【变式3】 平面直角坐标系中有()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B C D -四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D ，E ，F 的方程组． 2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2＝16
【例2】
方程
y = ）
A. 一条射线
B. 一个圆
C. 两条射线
D. 半个圆
【例3】 在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ）
A. 2
2
3x y += B. 2
2
4x y +=
C. ()2290x y y +=≠
D. ()2290x y x +=≠
【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为1
2的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出
曲线．
【变式1】 方程
1x -= ）
A. 一个圆
B. 两个圆
C. 一个半圆
D. 两个半圆
【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【变式3】如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2
x －1
的最小值为________．
【例3】已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()
A.
9
5B．1 C.
4
5 D.
13
5
【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．【变式1】P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．
【变式2】由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()
A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)
【变式3】已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝
y－b
x－a
的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题
（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r
（其中d为圆心到直线的距离）。