在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟一、单项选取题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π近似值时具备( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必要满足条件为( A )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上持续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1，… ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( A )。

A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/44. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=xx 和2ln /)4ln(x x -=形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内实根，下列描述对的是：( B )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上三次样条插值函数是( A )。

A. 在[a ，b]上2阶可导，节点函数值已知，子区间上为3次多项式B. 在区间[a ，b]上持续函数C. 在区间[a ，b]上每点可微函数D. 在每个子区间上可微多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当x =1，-1，2时，相应函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )拉格朗日插值多项式是226104()25555P x x x =-++（题目有问题，或许应当是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 牛顿迭代公式是1,(0,1,2...)1kx k k k k x e x x k x -+-=-=+3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生向量序列{}()k X 收敛充分必要条件是k k X X →∞=()*lim 。

4 .设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___5____，‖A ‖1＝___5___，‖X ‖∞＝__ 3 _____。

5. 已知a =3.201，b =0.57是通过四舍五入后得到近似值，则a ⨯b 有 2 位有效数字，a +b 有 1 位有效数字。

6. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。

7. 求积公式)43(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具备___3__ 次代数精度。

三、运用100，121，144平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115近似值。

规定保存4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。

四、已知：已知有数据表如下，用n=8复合梯形公式（)]()(2)([211b f x f a f hT n k k n ++=∑-=），计算积分⎰=10dx e I x ，并预计误差（),(),("12)(2b a f h a b f R n ∈--=ηη）。

五、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a（1）写出解此方程组雅可比法迭代公式； （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛；（3）取5=a ,T X )101,51,101()0(=，求出)2(X 。

六、用改进欧拉公式求解如下初值问题（取步长为0.1，只规定给出x=0.1至0.5处y 值，保存小数点后四位）。

⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=1)0()10(2'y x y x y y 七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。

(计算时小数点后保存5位)。

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x 八、用高斯赛德尔办法求下列方程组解，计算成果保存4位小数。

⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x 九、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算⎰20)(dx x f ，（2）预计截断误差大小 十、设有线性方程组b Ax =，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=582,3015515103531b A（1）求A LU =分解； (2) 求方程组解 (3) 判断矩阵A 正定性 十一、用牛顿迭代法求方程0xx e--=根。

（迭代三步即可）十二、已知单调持续函数y =f (x )如下数据，若用插值法计算，x 约为多少时f (x )=0.5，规定计算成果保存小数点后4位。

参照答案三、解 运用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228四、解720519.1)]1()(2)0([161718=++=∑=f x f f T k k71828.1)]1())75.0()5.0()25.0((2))875.0()625.0()375.0()125.0((4)0([2414=+++⨯++++⨯+=f f f f f f f f f S 750035942968.0)81(121|)("12||)(|1228=≤--=e f h a b f R η 54)4(44107272.4)41(28801|)(2880||)(|-⨯=≤--=e f h a b f R η五、解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x ax m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，因此雅可比迭代法收敛。

（3）取5=a ，T X )101,51,101()0(=由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x 则 ）（2X =（25013， 258，25013）T六、解 改进欧拉公式为),(1n n n n y x hf y y +=+)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y七、解（1，5，2）最大元5在第二行，互换第一与第二行：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-1124 12345321321321x x x x x xx x x L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （-0.2,2.6）最大元在第三行，互换第二与第三行：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453232321x x x x x x xL32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.212345332321x x x x x x 回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x八. 解答：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)210(51)215(101)23(101111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)4.02.02)1.02.05.1)1.02.03.0111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x0=(0,0,0) x1=(0.3,1.56,2.684) x2=(0.8804,1.9445,2.9539) x3=(0.9843,1.9923,2.9938) x4=(0.9978,1.9989,2.9991) x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000) x7=(1.0000,2.0000,3.0000)九、依照给定数据点个数应当用复化simpson 公式计算由公式得⎰20)(dx x f ≈))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3f f f f f h++++=476 ， 21=h )(2880),()4(414ηf h a b s f R --=h h MM 2,14402880021==-≤十、由于 13521352[,]31015831025153055055A b ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）A =LU=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001 (2) 方程组解为；⎪⎩⎪⎨⎧-===121321x x x（3） 由于A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010531511105013001 因此矩阵A 是对称正定十二、)1)(4(281)3)(1)(4(61)3)(1(84133)13)(43()0)(1)(4(2)30)(10)(40()3)(1)(4(0)31)(1)(41()3)(0)(4()1()34)(4)(14()3)(0)(1()(+++-++--+-=⨯++-+++⨯-++-+++⨯---+---++-⨯---+---+=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y l l(0.5)=2.91667。