人教版数学九年级中考备考训练习题：圆的综合（含答案）1．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点（有与A、D重合），以E为圆心，EA为半径的⊙E交CE于G点，CF与⊙E切于F点．AD＝4，AE＝x，CF2＝y．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）是否存在x的值，使得FG把△CEF的面积分成1：2两部分？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵CF与⊙E切于F点，∴EF⊥CF，∵AE＝x，AD＝4，∴DE＝4﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16，在Rt△EFC中，CF2＝CE2﹣EF2，∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）；（2）∵FG把△CEF的面积分成1：2两部分，∴EG＝EC，或EG＝EC，∴x＝，或x＝∴x＝±﹣，或x＝∵0＜x＜4，∴x＝，或x＝．2．AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E在AB的延长线上，∠A＝∠BCE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：四边形OBCD是菱形，理由：∵BC＝BE，∴∠E＝∠ECB，∵∠BCO+∠BCE＝∠COB+∠E＝90°，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∴△BCO是等边三角形，∴∠AOC＝120°，∵F是AC的中点，∴AF＝CF，∵OA＝OC，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OD＝OB＝BC，∴四边形OBCD是菱形．3．如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：P A+PB＝PC；（2）若BC＝，点P是劣弧AB上一动点（异于A、B），P A、PB是关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根，求m的最大值．证明：（1）在PC上截取PD＝AP，如图，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP（2）由（1）可知P A+PB＝PC，∵P A、PB是方程的两根，∴P A+PB＝m，要使m有最大值，则P A+PB最大，即PC为⊙O的直径，连BO并延长交⊙O于点M，连接CM，则∠BCM＝90°，∴BMC＝∠BPC＝60°，∵BC＝2，∴BG＝4，∴m的最大值为4．4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长．解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＝∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACO，∴∠2+∠BCO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC是⊙O的切线；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°∴∠1＝∠A，∴∠1+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD2＝AD•BD，∵CD＝4，BD＝2，∴AD＝8，∴AB＝10，∴OC＝OB＝5，∵∠OCP＝90°，CD⊥OP，∴OC2＝OD•OP，∴52＝（5﹣2）×OP，∴OP＝，∴PB＝OP﹣OB＝．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）．解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴直线BC与⊙O相切．（2）∵l＝，AE＝6，劣弧DE的长为π，∴∠DOE＝60°．∵∠ODB＝90°，∴BD＝OD＝3，∴S＝BD•OD＝．△BODS 扇形DOE ＝＝．答：BE 与劣弧DE 所围成的部分的面积为﹣．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为半径OA 的上的中点，CD ⊥AB 交⊙O 于点D 和点E ，DF ∥AB 交⊙O 于F ，连结AF ，AD ．（1）求∠DAF 的度数；（2）若AB ＝10，求弦AD ，AF 和所围成的图形的面积．（结果保留π）解：（1）∵DF ∥AB ，CD ⊥AB ，∴∠EDF ＝∠ECB ＝90°，∴EF 为⊙O 的直径，∵点C 为半径OA 的上的中点，∴OC ＝，∴∠E ＝30°，∴∠DAF ＝∠E ＝30°；（2）连接OD ，则∠DOF ＝2∠E ＝60°，∵DF ∥AB ，∴S △ADF ＝S △DOF ，∴S 阴影＝S 扇形，∵OD ＝AB ＝5，∴弦AD ，AF 和所围成的图形的面积＝＝π．7．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 点D ．点E 在⊙O 上． （1）若∠AOC ＝40°，求∠DEB 的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，则AB＝2AC＝8．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心、OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC＝6，AB＝10，连结AD，求⊙O的半径及AD的长．（2）当∠B的度数为30°时，四边形BDEF是平行四边形．解：（1）连接OD，如图1所示：设⊙O的半径为r，则OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴BC＝＝＝8，OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴＝＝，即：＝＝， ∴10r ＝6（10﹣r ），解得r ＝，∴BD ＝＝5，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣5＝3，∴AD ＝＝＝3，∴⊙O 的半径为，AD 的长为3； （2）连接OD ，如图2所示：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴∠B ＝∠DEF ，∵∠DOB ＝2∠DEF ，∴∠DOB ＝2∠B ，∵BC 切⊙O 于点D ，∴∠ODB ＝90°，∴∠DOB +∠B ＝2∠B +∠B ＝3∠B ＝90°，∴∠B ＝30°，故答案为：30°．9．如图，△ABC中，AB＝BC，CE∥AB，以AB为直径作⊙O，当CE是⊙O的切线时，切点为D．（1）求：∠ABC的度数；（2）若CD＝3，求AC的长度．解：（1）连接OD，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE，∵CD∥AB，∴OD⊥AB，过B作BH⊥CD于H，则四边形BHDO是正方形，∴BH＝OD，∵AB＝BC，AB为⊙O的直径，∴BH＝BC，∴∠BCH＝30°，∵CD∥AB，∴∠ABC＝30°；（2）设⊙O于AC交于F，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴BF⊥AC，∵AB＝BC，∴CF＝AC，∵CD是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，由切割线定理得，CD2＝CF•AC＝AC AC，∴32＝AC2，∴AC＝（负值舍去）．10．如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积．解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AF为⊙O的直径，∴AF⊥B C，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠AD⊥AF，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OC，OB，∴∠BOC ＝90°，∵AF ＝2，∴OB ＝OC ＝1，∴BC ＝，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝，连接OE ，∵AD ∥BC ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝45°，∴∠AOE ＝2∠ACE ＝90°，∵OA ＝OE ＝1，∴阴影部分的面积＝S 梯形AOED ﹣S 扇形AOE ＝（1+）×1﹣＝﹣．11．如图，以△ABC 的边AC 为直径的O 恰为△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交O 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝4，BC ＝2，求DE 的长．（1）证明：连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝10，∴OD＝5，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝5，∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴＝，即＝，解得：GE＝2.5，∴DE＝DG+GE＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，点C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC＝8，求BD的长．（1）证明：连接OA，如图所示：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝30°，∴∠OAB＝120°﹣30°＝90°，∴AB⊥OA，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵直径EF⊥AC，∴AG＝CG＝AC＝4，∵∠OAC＝30°，∴OG＝AG＝，∴OA＝2OG＝，∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，∴BO＝2OA＝2OD，∴BD＝OA＝．13．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．证明：（1）连接OB、OC，∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠1＝∠2，∴AO平分∠BAC；（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴AE⊥BC，设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，可得：，x2＝OE2+42解得：x＝5，OE＝3，∴半径OA的长＝5．14．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．15．如图，点O在△ADE的边AE上，以O为圆心，OA为半径的圆与AE交于点B，与AD 交于点F，并且与边DE相切于点C，连接AC．已知AC平分∠DAE．（1）求证：AD⊥CD；（2）若∠CAO＝30°，⊙O的半径为3．求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）（1）证明：连接OC，∵DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，又∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴OC∥A D，又∵OC⊥DE，∴AD⊥CD；（2）∵∠CAO＝30°∴∠COB＝60°，∴在Rt△OCE中，CE＝OC•tan60°＝，∴S阴影＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣，＝．16．已知点C在⊙O上．AC＝AB，点P与点C位于直径AB的异侧（点P不与A．B两点重合），连接BP．过点C作直线PB的垂线CD，交直线PB于点D．连接CP．（1）如图①，求∠CPD的度数；（2）如图②，当CP⊥AB，AC＝2时，求△BPC的周长．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝AB，∴∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∴∠CPD＝∠A＝60°；（2）由（1）知，∠A＝60°，∴∠P＝∠A＝60°，∵CP⊥AB，∴∠ACP＝30°，∴△PBC是等边三角形，∵AC＝2，∴BC＝AC＝2，∴△BPC的周长＝6．17．已知⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．解：（1）如图1，∵BC为⊙O的直径，∴BC＝10，且∠BAC＝∠BDC＝90°，则在Rt△ABC中，BC＝10，AB＝6，∴，又∵AD是∠CAB的平分线∴∠CAD＝∠BAD，∴，∴CD＝BD，∴△BDC是等腰直角三角形，∵BC＝10∴；（2）如图2，连接BO，DO，∵AD是∠CAB的平分线，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，又∵OE⊥BD，∴∠BOE＝30°，BE＝BD，又∵OB＝5，∴，∴．18．已知P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小．解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝52°；（Ⅱ）连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝52°，∴∠BCE＝90°﹣52°＝38°，∴∠BAE＝∠BCE＝38°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝71°，∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝19°．。