10
∑ P{ξ ≥ 8} = C1i0 × 0.8i × 0.210−i =0.6778
i=8
16. 一批产品的废品率为 0.001, 用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率, 以及不超过 2 件的概率.
解: 设ξ为 800 件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为
至少命中 3 炮的概率, 为 1 减去命中不到 3 炮的概率, 为
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2
∑ P{ξ ≥ 3} = 1 − P{ξ < 3} = 1 − C1i0 × 0.7i × 0.310−i = 0.9984
i=0
因 np+p=10×0.7+0.7=7.7 不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7 炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为 0.01, 求生产 10 件产品中废品数不超过 2 个 的概率. 解: 设ξ为 10 件产品中的废品数, 则ξ~B(10,0.01), 则废品数不超过 2 个的概率为
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概率论第 4 章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮, 命中 3 炮的概率, 至少命中 3 炮的概率,
最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击 10 炮命中的炮数, 则ξ~B(10,0.7), 命中 3 炮的概率为
P{ξ = 3} = C130 × 0.73 × 0.37 = 0.0090
能值为[5/6]=0.
7. 事件 A 在每次试验中出现的概率为 0.3, 进行 19 次独立试验, 求(1)出现次数的平均值
和标准差; (2)最可能出现的次数.
解: 设 19 次试验中事件 A 出现次数为ξ, 则ξ~B(19,0.3), 因此
(1)ξ的数学期望为 Eξ=np=19×0.3=5.7
方差为 Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99
标准差为σ ξ = Dξ = 3.99 = 1.997
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(2)因 np+p=5.7+0.3=6 为整数, 因此最可能值为 5 和 6.
8. 已知随机变量ξ服从二项分布, Eξ=12, Dξ=8, 求 p 和 n.
解: 由 Eξ=np=12
(1)
和 Dξ=np(1-p)=8
∑ P{ξ ≤ 4} = 4 2i e −2 = 0.9473
i=0 i!
而 100 页上的印刷错误都不超过 4 个的概率为
[P{ξ ≤ ]4} 100 = 0.004454
19. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命 Eξ=1000 小时, 写出 ξ的概率密度, 并计算 P(1000<ξ≤1200).
(2)
由(1)得 n=12/p, 代入到(2)得
12(1-p)=8, 解出 p=(12-8)/12=1/3=0.3333
代回到(1)式得 n=12/p=12×3=36
9. 某柜台上有 4 个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有 15 分
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钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一 n=4 的贝努里试验, 且 p=15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用 秤的售货员数, 则ξ~B(4, 0.25), 当ξ>2 时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
⎝3⎠
81
12. 一批产品 20 个中有 5 个废品, 任意抽取 4 个, 求废品数不多于 2 个的概率 解: 设ξ为抽取 4 个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有
∑ P{ξ ≤ 2} =
2
C Ci 4−i 5 15
= 0.968
C4
i=0
20
13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布 公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为 0.1, 从 1000 个产品
2
∑ P{ξ ≤ 2} = C1i0 × 0.01i × 0.9910−i = 0.9999
i=0
3. 某车间有 20 部同型号机床, 每部机床开动的概率为 0.8, 若假定各机床是否开动彼此 独立, 每部机床开动时所消耗的电能为 15 个单位, 求这个车间消耗电能不少于 270 个单位的 概率.
解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个 单位, 则η=15ξ, 因此
废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值.
解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是
ξ的函数. 则产品为废品的概率为
∑ P{ξ > 4} = 1 − P{ξ ≤ 4} = 1 − 4 0.8i e−0.8 = 0.0014
i=0 i!
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λ=np=800×0.001=0.8
P{ξ = 2} ≈ 0.82 e −0.8 = 0.1438 2
∑ P{ξ ≤ 2} ≈ 2 0.8i e−0.8 = 0.9526
i=0 i!
17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有 0.8 个疵点, 若规定疵点
数不超过 1 个为一等品, 价值 10 元, 疵点数大于 1 不多于 4 为二等品, 价值 8 元, 4 个以上为
事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率 P{ξ>1|ξ>0}, 又因事件 {ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此
P{ξ > 1| ξ > 0} = P{ξ > 1} = 1 − P{ξ = 0} − P{ξ = 1} =
P{ξ > 0}
∑ P{η = 10} = P{ξ ≤ 1} = 1 0.8i e−0.8 = 0.8088
i=0 i!
∑ P{η = 8} = P{1 < ξ ≤ 4} = 4 0.8i e−0.8 = 0.1898
i=2 i!
则产品的平均价值为
Eη = 10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)
或者算出具体的值如下所示：
ξ
0
1
2
P
0.4823
0.3858
0.1157
3 0.0154
4 0.0008
⎧0
x<0
⎪⎪0.4823 0 ≤ x < 1
F
(x)
=
⎪⎪0.8681 ⎪⎨0.9838
1≤ x< 2 2≤ x<3
⎪0.9992 3 ≤ x < 4
⎪
⎪⎩1
x≥4
从分布表可以看出最可能值为 0, 或者 np+p=(4/6)+1/6=5/6 小于 1 且不为整数, 因此最可
P{ξ
=
i} =
C C i 5−i 13 52−13
(i
=
0,1,2,3,4,5)
C552
则按上式计算出概率分布如下表所示:
பைடு நூலகம்
ξ
0
1
2
P
0.2215
0.4114
0.2743
3 0.0815
4 0.0107
5 0.0005
15. 从大批发芽率为 0.8 的种子中, 任取 10 粒, 求发芽粒数不小于 8 粒的概率. 解: 设ξ为 10 粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其 中 p=0.8, n=10, 则
(1 − p)2 = 1 − 5 / 9 = 4 / 9 1− p = 2/3 p =1− 2/3 =1/3
则假设η为成功率为 1/3 的 4 重贝努里试验的成功次数, η~B(4,1/3), 则
P(η
≥ 1)
=1−
P(η
=
0)
= 1 − (1 −
p)4
=
1
−
⎛ ⎜
2
⎞ ⎟
4
= 1 − 16
=
0.802
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18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服
从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过 4 个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则 1 页印刷错误都不超
过 4 个的概率为
P(ξ
>
2)
=
C
3 4
× 0.253
× 0.75 + 0.254
= 0.0508
因此 10 个小时内平均有 0.0508×10=0.508 个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为 p, 进行 4 重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验
成功不止一次的概率. 解: 设ξ为 4 次试验中的成功数, 则ξ~B(4,p), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而
P{η ≥ 270} = P{15ξ ≥ 270} = P{ξ ≥ 270} = P{ξ ≥ 18} = 15
20
∑ =
C
i 20
× 0.8i
× 0.2 20−i
= 0.2061
i =18
4. 从一批废品率为 0.1 的产品中, 重复抽取 20 个进行检查, 求这 20 个产品中废品率不 大于 0.15 的概率.
因此
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20
∑ P{ξ = i}
P{ξ ≥ 3 | ξ ≥ 2} = P{ξ ≥ 3} = i=3