数论短期班100题手册知识框架体系一、奇偶性质1．奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0．2．奇数与偶数的运算性质：性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数)奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数)偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数)可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化．(也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．)性质二：偶数⨯奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数)偶数⨯偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数)奇数⨯奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数)可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))．性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．二、整除1．整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商ab是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a b c=⨯．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”．2．整除性质：⑴传递性若|c b，|b a，则|c a．⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b±（）．⑶可乘性若|c a，|d b，则|cd ab．3．整除的特征⑴4,25,8,125,16,625的整除特征能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425=⨯,10008125=⨯,1000016625=⨯,100000323125=⨯)⑵3,9的整除特征能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几⑶7,11,13的整除特征①能否被7，11，13整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几②能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征如7289=⨯，99119=⨯，1234=⨯，100171113=⨯⨯（这样我们就知道1至16所有整数的整除特征）三、约数和倍数1．约数和倍数定义⑴约数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数．⑵最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．⑶最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．2．约数和倍数⑴最大公约数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．⑵最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①(,)[,]A B ma mb m mab A B A B⨯=⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、A B+、A B-及最小公倍数的约数．3．求一组分数的最大公约数与最小公倍数⑴求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；ba即为所求．⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15 [,]412(4,12)4==四、质数、合数1． 相关定义质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.部分特殊数的质因数分解：111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.3． 约数个数定理设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p .那么n 的约数个数为1231111n d n a a a a =++++()()()()()自然数n 的约数和为()()()11221121211111222211a a a a S n p p p p p p p p --=++++++++++()1211n n a a n n n n p p p p -+++++五、余数问题1． 余数的定义一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b ≠,若有a b qr ÷=，或者a b q r =⨯+,0r b ≤<；当0r =时，我们称a 能被b 整除；当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商．2． 余数的性质①被除数=除数⨯商+余数；除数=(被除数-余数)÷商；商=(被除数-余数)÷除数； ②余数小于除数．③如果,a b 除以c 的余数相同，就称,a b 对于除数c 来说是同余的，且有a 与b 的差能被c 整除．(,,a b c 均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-能被3整除．④如果a 与b 的和除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之和(或这个和除以c 的余数)． 例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)+除以5的余数等于314+=．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)+除以5的余数等于(34)+除以5的余数． ⑤如果a 与b 的乘积除以c 的余数，等于,a b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以c 的余数)． 例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于313⨯=．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c 的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于(34)⨯除以5的余数．六、中国剩余定理在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N 除以A 余a ,除以B 余b ,除以C 余c 这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”: 绝招一：减同余。
例如a b =,则有A N a -,且B N a -,[,]N a A B n -=,而N 的最小值就是[,]N A B a =+; 绝招二：加同补。
例如：A a B b d -=-=;则有[,]N d A B n +=，而N 的最小值是[,]N A B d =-; 绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
七、最大与最小两个数的和一定，差越小，积越大．(另外一层含义就是：和一定，差越大，积越小) 两个数的积一定，差越小，和越小．(另外一层含义就是：积一定，差越大，和越大)八、平方数 1． 定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.211=，224=，239=，…，211121=，212144=，…其中1，4，9，…，121，144，…都叫做完全平方数。
平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。
2． 完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
性质2：完全平方数被3，4，5，8，12，16除的余数一定是完全平方数。
性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反之亦然。
因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数。