注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最 简单的插值是分片线性插值。
分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1)
•
•
•
••
•
(xi,•yj) (xi+1•, yj) •
•
•
•
•
••
O
x
二元函数插值：
设实值函数 f (x, y) 定义在矩形区域 D ={a x b, c y d },
n t 0,t r
y yt . yr yt
(5.12)
这样的 krx, y 满足
kr
(xi ,
yj
)
1, 0,
(i, j) (k, r) (i, j) (k, r)
因此, krx, y 在点集(xi, yj)上线性无关, 且易
知, 满足插值条件(5.11) 的插值多项式为
nm
pnm (x, y)
Rnm (x,
y)
n1 ( x)
(n 1)!
f
( n 1) xn1
(
,
y)
m1( y)
(m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
(
xk
,
)
k 0
(5.15)
Rnm (x,
y)
n1 ( x)
(n 1)!
f
( n 1) xn1
(
,
y)
m1( y)
(m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
插值节点集: Z ={(xi, yj)| a x0 x1 xn b, c y0 y1 ym d }.
取在 Z 上线性无关的函数组
krx, y | k=0,1, , n; r=0,1, , m. 其中， krx, y 是次数关于 x 不高于 n 次、
关于 y 不高于 m 次的二元多项式。
在函数空间
如同一元的情况, 满足插值条件(5.11)的二元 插值函数是唯一存在的。
➢Lagrange 插值曲面
取插值基函数
kr (x, y) lk (x)l%r (y), k 0,1,..., n;r 0,1,..., m.
其中
lk (x)
n t 0,t k
x xt xk xt
,
l%r ( y)
0.25
0.5
1
1
0.43 0.87 1.73
建立x为二次、y为一次的二元插值多项式p21(x,y)， 用以计算f (0.3,0.8)的近似值。
解：由n=2，m=1的二元插值多项式(5.13)可得
2 1
~
p21(x, y)
lk (x)lr (x) f (xk , yr )
k0 r0
1 x(x 1)( y 1 0.25 y 0.5 0.43)
lk (x)l%r ( y) f (xk , yr )
k0 r0
(5.13)
式(5.13)叫做 Lagrange 形式的插值曲面.
近似式
(x, y) pnm(x, y)
(5.14)
叫做二元函数的Lagrange插值公式. 式 (5.14) 的
余项 或 截断误差为
Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
r0
r0
n
m
lk (x)
~ lr ( y) f (xk ,yr )
k 0
r0
ωm1( y) (m 1)!
f
( m 1) y m1
(
x ,
)
ωn 1 ( x) (n 1)!
m
~ lr
(
y
)
f
( n 1) x n1
(,y
r
)
r 0
(5.16)
例2 试利用f (x,y)的函数表
fx
y
-1
0
1
0.5
5.1.2 二元函数插值
第一种（网格节点）：
y
•
•
•
•
•
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•
••
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
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••
O
x
第二种（散乱节点）：
y
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0
x
最邻近插值
y•
(x1•, y2) (x2,•y2)
•
•
•
•
•
••
(x1, y1) (x2, y1)
•
•
•
••
O
x
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻 近的节点的函数值即为所求。
• 数学符号 x0,x1, , xn, y0,y1, , ym, 0x,1x, , nx
• k=0,1, , n
(x, y) pnm(x, y)
•
• ΓΔΘΛΞΦΨΩ
• •
•
•
•
• ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
2
0.5 1
1 0.5
(x 1)(x 1)( y 1 0.5 y 0.5 0.87) 0.5 1 1 0.5
1 x(x 1)( y 1 1 y 0.51.73)
2
0.5 1 1 0.5
0.17x2 y 0.55xy 0.04x2 0.1x 0.74y 0.13
f (0.3,0.8) p21(0.3,0.8) 0.89984
D Span00, , 0m, , n0, , nm
上寻找二元插值多项式
nm
pnm (x, y)
ck ,r k,r (x, y)
k0 r0
使其满足插值条件
(5.10)
pnm (xi , y j ) f (xi , y j ), i 0,1,..., n; j 0,1,..., m. (5.11) 此问题就是二元函数的代数插值问题。
(
xk
,
)
k 0
(5.15)
证明Ⅰ：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
n
n
Rnm (x,y) f (x,y) lk (x) f (xk ,y) lk (x) f (xk ,y)
k 0
k 0
m ~
n
lr ( y) lk (x) f (xk ,yr )
r0
k 0
ωn1(x) (n 1)!
f
( n 1) x n1
(ξ ,
y)
ωm1( y) (m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
(
xk
,
).
k 0
(5.15)
证明Ⅱ：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
m ~
m~
Rnm (x,y) f (x,y) lr ( y) f (x,yr ) lr ( y) f (x,yr )