《二元函数多项式插值的一般方法研究》的开题报告
一.课题研究的背景和意义
（一）.插值问题的提出和发展过程
许多实际问题都用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数通过实验或观测得到的.虽然)(x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值),...,1,0)((n i x f y i i ==，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反应函数)(x f 的特性，又便于计算的简单函数)(x P ，用)(x P 近似)(x f .通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为)(x P ，并使)()(i i x f x P =对n i ,...,1,0=成立.这样确定的)(x P 就是我们希望得到的插值函数.
对于上述的)(x f y =的函数插值，前人们已经做过很多的研究，典型的有多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等.但是对于二元函数),(y x f z =的插值还没有一个较广的研究.
（二）.二元函数插值研究的意义
1. 理论意义：
一元函数插值主要有基函数法、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值等，但是对于二元函数插值乃至n 元插值是不能直接在一元函数插值的基础上直接推广的。

多元插值是一个活跃的研究领域，至今已有非常多的多元插值公式，但是可供利用的公式十分少。

所以我们研究二元函数的插值时，可以为n 元函数插值提供新的研究思路，有助于复杂函数的偏导数的求解，也可以是对插值理论的完善。

2. 实际意义：
一元函数插值问题主要是平面的，而二元函数插值是在三维空间上的，这对我们构造三维空间图像有非常大的作用.例如，在现代机械工业中用计算机控制加工机械零件，根据设
计可给出零件外形曲线的的某些型值点),...,1,0)(,(n i y x i i =,加工时为控制每步走刀及步数，就要算出零件外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求函数插值问题，利用二元函数插值也可以方便解决。

在许多实际问题中需要建立模拟曲面以及描述一些科学现象的曲面拟合等等，而我们很难用一个函数来表示其内在规律。

二.研究综述
目前，对于一元函数插值的研究已经接近完整，对于二元函数的插值研究是比较少的。

只有少数几篇文章作过基于径向基的二元函数插值研究和其在其他领域的具体应用以及二元函数插值的一些唯一性、存在性、有理逼近等研究。

对于二元函数在某一特定条件下的某种插值方法的研究也是较少的。

整体来说，对于二元函数插值方法的研究就目前来说还是有很大的发展空间的，也是值得我们去探索研究的。

三.研究目标与内容
（一） 研究目标
1． 总结出二元函数插值的基本思想
2． 将一元函数插值中的拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值推广到二元函数
3． 归纳总结二元函数插值的几种方法
4． 二元函数插值方法实现的程序设计
5． 二元函数最小二乘法逼近及误差估计
6． 二元函数的最佳平方逼近
（二） 研究内容
1． 一元拉格朗日插值的构造方法
给定1+n 个节点n x x x ,...,10<<的n 次插值多项式)(x L n ，假定它满足条件n j y x L i i n ,...,1,0,)(==.
2． 二元函数插值的基本思想
将一元拉格朗日插值的构造方法推广到二元函数，但实际问题中给的节点
),,(i i i z y x 的个数很多，如果用一个整片多项式去逼近，所得到的二元多项式的次数一定比较高，效果并不好，故采用类似于一元函数的分段逼近，用分片二元多项式去逼近.
3． 二元函数插值的几种方法
主要研究分片双一次插值、分片不完全双二次插值、矩形域上分片双二次插值等方
法.
4．二元函数最佳平方逼近
我们已经研究了一元函数在某一区间上一般的最佳平方逼近问题.对于多变量函数离散情况下的最小平方逼近可以仿照一元函数的逼近方法一样处理。

5．最小二乘拟合程序设计及相关程序设计
在现代高科技的背景下，计算机应用无处不在，新事物的出现需要理论支持外，更需要其可以进行高效快捷运作，而二元函数的计算是相当复杂的，故程序设计是必须的，且计算机程序可以给出三维立体图形，更加直观。

四.研究方法
类比法：对于一元函数插值，前人已经给出了十分完备的理论支持及研究，对于二元函数的研究，主要从一元函数出发，做些推广和类比。

实验法：已经给出二元函数插值的相关理论之后，我们需要利用数据对其的可行性与操作性及误差进行评估。

五.研究步骤
1．准备阶段：
通过各种渠道获取大量的相关文章书籍，认真仔细地阅读思考，将对自己有用的语句段落进行批注，摘抄。

在文献研究的基础上，提供研究的思路，制定课题研究方案。

2．实施阶段
根据研究思路，进行具体的研究探索，发现问题及时调整，在完成理论部分后，进行程序设计
3．总结阶段
对自己的研究成果撰写成文，进行总结
六．参考文献
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