第8讲圆与扇形知识网络圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。

圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。

从而扇形的周长，扇形的面积。

重点·难点本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。

一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。

这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。

学法指导在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。

经典例题[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。

就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。

小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。

猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。

已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。

请问：小狗如何才能逃出虎口？思路剖析如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。

而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。

由于半圆周长是直径的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。

所以，小狗要想逃出虎口，就必须利用猛虎沿着圆周跑这个特点。

解答小狗只要在跳下池塘后就游向圆形池塘的圆心位置，到达圆心后，看准猛虎所在的位置，立即沿着和猛虎连线的相反方向游去。

这时，小狗只要游池塘的半径长，而猛虎要跑半个圆周长，也就是半径的长，而猛虎的速度仅为小狗游水速度的2.5倍。

在此当猛虎跑到时，小狗已经上了岸，并逃之夭夭了。

[例2]如图1所示，在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。

请问：大圆周长与所有小圆周长之和，哪个长？为什么？思路剖析本题并没有告诉我们大圆内有多少个小圆，又没有告诉我们大圆和小圆直径的长度，只告诉我们大圆的直径等于所有小圆直径的和。

这样是不可能求出大圆以及所有小圆的周长的实际长度的，因此我们必须利用周长的计算公式来推出结果。

解答设大圆的直径为d，小圆的直径分别为；因此，根据圆周长而因此，大圆的周长等于所有小圆周长之和。

[例3]某学校举行运动会，有3人参加了200米赛跑，其跑道如图2所示，左右两边是直道，上边是弯道，已知弯道是半圆形的，每道宽为1米。

为了保证比赛的公正性，1、2、3跑道的起点应各相距多少米？思路剖析首先应该清楚：跑道的长度的差异体现在弯道处，而在直道处的长度是相等的。

同时，起点相距的多少与弯道处半圆的半径是无关的。

所以不妨设最内道的半圆半径为r，来求出长度的差异。

解答假设第一圈跑道所对应的半圆半径为r米，则第二圈跑道所对应的跑道的半圆半径为r+1米，第三圈跑道所对应的跑道的半圆半径为r+2米。

则第一半周长为米，第二圈半周长为米，第三圈半周长米，从而第一圈与第二圈跑道相差（米），第二圈与第三圈跑道相差（米）。

所以要保证比赛的公正性，就应把第二道的起点定在第一道的起点前3.14米，而第三道的起点定在第二道的起点前3.14米。

[例4]如图3所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB=10厘米，圆弧DE、DF是分别为A、B为圆心所作，求圆中阴影部分的面积。

思路剖析看图形可以知道要求出阴影部分的面积，必须用四分之一的圆的面积减去它所包含的小三角形的面积，然而小三角形我们仅知其斜边长是5厘米，无法求出它的面积。

因此我们考虑用旋转变换，将图3变成图4（即沿CD裁开，以D为轴旋转，使AD边与BD边重合）。

此时阴影的面积就等于半圆的面积减去所含三角形AEF的面积。

解答在图3中，因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，从而在图4中，，所以三角形是直角三角形，并且厘米，即，则。

[例5]有一个边长为10厘米的等边三角形ABC，如图5所示。

现将此三角形在水平面内沿水平线翻滚两次，那么A点从开始到结束所经过的总长度是多少？思路剖析三角形ABC是等边三角形，于是它的三个内角均为60°。

在翻滚的过程中，A划过了两段圆弧，一段是以B为圆心的弧，另一段是以为圆心的弧，并且圆心角的大小均为60°+60°=120°。

这样可以用弧长公式来求出A点所经过的总长度。

解答在翻滚的过程中，A点所经过的总长度是由弧和弧组成，由于ABC是等边三角形，所以这两段弧长完全相等，并且它们所对的圆心角均为120°。

由弧长公式可得A点所经过的总长度为答：A点从开始到结束所经过的总长度为41.87厘米。

[例6]如图6所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心。

求三块阴影部分的面积之和。

思路剖析阴影部分是由三块面积相等的图形组成的，但是每一块都是不规则图形，若用常规思路分析比较难以计算。

但是根据图形的对称性，利用分割和移补的方法，将之转化为图7，这样可以看出阴影部分被分割移补成一个规则的图形——半圆形。

解答经过分割移补，上图了阴影部分被拼成图7的半圆形，所以阴影部分的面积是答：阴影部分的面积是157平方厘米。

[例7]如图8所示，试求图中阴影部分的面积。

思路剖析本题有常规解法和割法拼凑两种解法，我们用这两种方法来解，并比较哪种解法更简单。

解答☆解法一：我们用常规解法来解。

因此，此图中阴影部分的面积是57+57=114（平方厘米）。

☆解法二：由圆的对称性，把下半圆到上半圆，如图9所示，则所求[例8]在图10中，两个大小相等的正方形内分别排列着九个等圆和十六个等圆，试比较这两个正方形内空隙的大小。

思路剖析要比较两个正方形内空隙的大小，由于两个正方形大小相等，所以只要比较两个正方形中的圆的总面积就可以了。

由于正方形的边长未知，因此必须假设正方形的边长。

同时，我们也可以将图分成九个相同的小正方形，每个小正方形包含一个圆，将图分成十六个相同的小正方形，分别求出每个小正方形中的空隙部分，再求总和。

解答☆解法一：设正方形的边长为a，则图中圆的半径，其面积为。

图中圆的半径为，其面积为，所以图、b中两图中圆的面积是相等的，从而这两个正方形内空隙的大小是相等的。

☆解法二：将图分成九个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，设大正方形边长为a，则小正方形边长为，从而小正方形内的空隙为，从而图中大正方形内的空隙为。

同理，将图分成十六个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，则小正方形的边长为，从而小正方形内的空隙为，因此图中大正方形内的空隙为。

比较这两个结果可知，图、b中大正方形内的空隙是相等的。

点津如何进行合适的割补，使不规则的图形转化成规则的图形，是本讲必须掌握的技巧，这要靠仔细的观察和对图形的熟悉。

例如，对于例7，虽然两种方法均能导出最后的正确结果，但我们推崇第二种解法，不仅它使计算量大大缩小，而且也显示了解题的技巧。

相比之下，例4提出更高的要求，因为不通过旋转，本题几乎是无法解答的。

因此在解题过程中，我们要仔细观察图形，尽量用最简单的方法来解答问题。

发散思维训练1．图11中每个小圆的半径均为1厘米，那么阴影部分的周长是______。

2．已知图12中长方形的长为21厘米，那么阴影部分的面积是______。

3．图13中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是______。

4．如图14所示，将半径分别为5厘米和4厘米的两个半圆如图放置，那么阴影部分的周长是______。

5．已知正方形ABCD的边长是20厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来（如图15所示），那么，图中阴影部分的总面积为______。

6．有一个建筑物占地的形状是边长为8米的等边三角形。

有一只狗用10米长的蝇子拴在建筑物的一个墙上（即等边三角形的一个顶点），当绳子拉紧时，狗运动所围成土地的总面积是多少？7．如图16所示，图的半径是15厘米，∠AOB=90°，∠COD=120°，CD=26厘米，求阴影部分的面积。

8．试问能否用大小不同的两种半圆，把一个圆分成面积相等的三个部分？若能，请给出分法；若不能，请说明理由。

9．图17中正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中阴影部分，求阴影部分的面积。

发散思维训练1．解：阴影部分的周长恰好是大圆的周长和七个小圆的周长之和，从而有2．解：由对称性，可以将阴影部分凑成右图的圆，如答图1所示，因此3．解：如答图2所示，将图形划分为A、B、C三个区域。

从而阴影部分的面积是区域A和B 的面积，它等于大扇形的面积减去区域C的面积，而区域C的面积为长方形的面积减去小扇形的面积。

4．解：阴影部分周长为两段圆弧的长度与两段线段的长度的和，所以阴影部分的周长为。

5．解：将阴影部分进行移动，可以将之拼凑成半个圆环，从而阴影部分的面积为。

6．解：根据题意，我们作出狗运动所围成的图形如答图3所示。

这个图形由三个部分组成：一部分是半径为10米的扇形，它的圆心角为：360°-60°=300°，另外两部分都是半径为10-8=2（米）的同样大的扇形，它的圆心角为：180°-60°=120°。

要求狗运动所围成的总面积，就是求这三个扇形的面积之和。

7．解：如答图4所示，阴影部分的面积是用弓形CHD的面积减去弓形AHB的面积。

其中H是的中点，因此∠COH=∠DOH=60°，所以∠CKO=∠DOH=60°从而。

从而阴影部分的面积=弓形CHD的面积-弓形AHB的面积=138-64.125=73.875(平方厘米)8．解：如答图5所示，把圆的直径三等分，分别以其中一份和两份为直径各画两个半圆，就将大圆和面积三等分。

因为：假设大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为，于是，由对称性，，从而。

即按此分割将圆的面积分成大小相等的三部分。

9．解：图中阴影部分由四个圆心角为90°的扇形组成，不难看出，这四个扇形的半径分别为1厘米，2厘米，3厘米，4厘米。