Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。

其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。

在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。

目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)内积的定义与性质 (1)Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (5)直交性 (5)投影定理 (6)3. 内积空间中的直交系 (8)标准直交系 (8)标准直交系的一些性质 (11)4. H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)对Hilbert空间的描述 (13)量子力学中对Hilbert空间的描述 (14)为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (15)Hilbert简介 (15)感想与致谢 (16)参考文献 (17)1. 内积与Hilbert 空间内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。

为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。

首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。

由此可见，内积的概念是基本的，用它可以引进向量长度（范数）、向量间的正交、投影等概念。

在实欧式空间中内积还具有如下基本性质：1) 对称性：),(),(x y y x =；2) ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+（对第一变元线性）3) 0),(≥x x ，当且仅当ο=x 时0),(=x x （正定性）以此为基础，对一般抽象线性空间中引入内积概念如下：定义 设X 为实（或复）数域K 上的线性空间，若X 内任意一对元素x,y 恒对应K 中一个数，记为),(y x ，它满足：1）共轭对称性：对任何X y x ∈,,),(),(x y y x =； 2） 对第一个变元线性：对任何X z y x ∈,,及任何两数K ∈βα,，),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；3） 正定性：对一切X x ∈，0),(≥x x ，而且0),(=x x 的充要条件是ο=x ； 那么就称),(y x 为X 中的内积，称X 为实（或复）内积空间，简称X 为内积空间。

由内积定义，不难证明下列事实：1） 当K 是实数域时，由对称性知),(),(),(22112211y x y x y x x αααα+=+),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+故),(y x 对y x ,都是线性；2）当K 是复数时，),(y x 对x 是线性的，关于第二个变元是共轭线性的),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+3）当y x ,中有一个为零时，0),(=y x ；4）设X 为复内积空间，则对任意X y x ∈,，满足Schwarz 不等式：),(),(|),(|y y x x y x ≤5）在X 内定义范数x 如下：),(x x x =，X x ∈则X 为以此范数的赋范线性空间，由Schwarz 不等式有),(2y x y x y x ++=+),(),(),(),(y y x y y x x x +++= 222y y x x +•=≤ ()2yx +=即y x y x +≤+故称在内积空间X 中定义的范数为由内积导出的范数，X 为赋范线性空间；7）内积空间中的内积与范数有下列关系：()()222241,iy x i iy x i y x y x y x --++--+=称为极化恒等式； 8）在内积空间导出的范数满足平行四边形公式：()222222y x y x y x +=-++例如，2R X =时，上式的意思就是：平行四边形的对角线长的平方和等于四边长的平方和，所以称为平行四边形公式。

可以证明：若赋范线性空间X 的范数满足平行四边形公式，那么在X 中可以定义内积，使X 成为内积空间X 且X 中原来的范数是内积导出的。

并非任一赋范线性空间的范数都能定义内积，使之原来的范数由该内积导出，例如[]b a L p ,，当2,1≠≥p p 时，它就不是内积空间，因为在[]b a L p ,中不满足平行四边形公式。

因此，平行四边形公式是赋范线性空间成为内积空间的充分必要条件，范数满足平行四边形公式是内积空间的特征。

Hilbert 空间的定义定义 内积空间X 作为赋范线性空间，如果是无限维且完备，则称它为Hilbert 空间。

系数域为复数（或实数）的Hilbert 空间称为复（或实）的Hilbert 空间。

例 空间2l ，设),,,,(21⋯⋯⋯⋯=n x ξξξ，n n R y ∈⋯⋯⋯⋯=),,,(21，ηηη定义 ()∑∞==1,i i i y x ηξ不难验证()y x ,是2l 中内积，2l 为内积空间，并由内积导出范数为∑∞==12i i x ξ且2l 完备，因此，2l 是Hilbert 空间。

例 空间[]b a C ,按范数)(max ],[t x x b a t ∈=不能成为内积空间，这是因为此范数不满足平行四边形公式，事实上，取1)(0=t x ，],[)(0b a C ab a t t y ∈--= 则100==y x ，但21max ],[00=--+=+∈ab a t y x b a t 11max ],[00=---=-∈a b a t y x b a t 因此，平行四边形公式不成立。

然而，若在[]b a C ,中令范数为212))((dt t x x b a ⎰=， 则[]b a C ,可以成为内积空间，其内积定义为dt t y t x y x ba ⎰=)()(),(， 此时范数可由内积导出，但这时[]b a C ,不完备，所以不是Hilbert 空间。

2. 直交性与投影定理直交性在内积空间中，因为向量之间定义了内积，我们可以导出与解析几何中类似的正交性概念和投影定理。

定义 设X 是内积空间，X y x ∈,，若0),(=y x ，则称x 与y 直交（或正交），记y x ⊥；设M 是X 的一个子集，若x 与M 中每个元素直交，称x 与M 直交，记M x ⊥；M 是X 的一个子集，X 中所有与M 直交的元素全体称为M 的直交补，记为⊥M ，即},|{X y M y y M ∈⊥=⊥若1M 与2M 是X 中的两个子空间，21M M ⊥,那么称},|{221121M x M x x x M ∈∈+=为1M 与2M 的直交和（或正交和），记为21M M ⊕。

根据上述定义，容易得到一下性质：1）（勾股定理）设X 是内积空间，X x x ∈21,，且21x x ⊥，令21x x x +=，则22212x x x +=。

2）设L 为X 中的一个稠密子集，若X x ∈且L x ⊥，则ο=x 。

3） 设X M ⊂，则⊥M 必为X 的闭线性子空间。

证明：任取⊥∈M y x ,,对任意的M z ∈及数βα、，有()0),(),(,=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα，又设⊥⊂M x n }{为任意收敛的子列，且x x n →，由内积的连续性，对任意M z ∈，()0),(lim ,==∞→z x z x n n 故⊥∈M x ，因而⊥M 是闭线性子空间。

投影定理下面把解析几何中向量投影的概念推广到内积空间。

定义 设M 为内积空间X 的线性子空间，X x ∈，若存在M x ∈0，⊥∈M x 1，使10x x x +=则0x 为x 在M 上的投影，称上式为x 关于M 的直交分解。

定理 （变分引理）设M 是内积空间X 中的完备凸子集，X x ∈，记d 为x 到M 的距离y x M x d d My -==∈inf ),( 则必有唯一的M x ∈0使得d x x =-0。

证明：存在性。

由距离定义，必定有M 中点列}{n x 使得d x x n n =-∞→lim这样的点列称为“极小化”序列，下面证明}{n x 是基本列。

由平行四边形公式得22222222x x x x x x x x x n m n n m n m-+--+-=- 因为M 是凸集，M x x n m ∈+2，所以 d x x x n m ≥-+2从而得22222220d x x x x x x n m n m--+-≤-≤令∞→n m ,，就有0lim 2,=-∞→n m m n x x所以}{n x 是基本列。

因为M 是个完备的子距离空间，所以有M x ∈0，使0x x n →，这时d x x x x n n =-=-∞→lim 0 唯一性。

如果M 中还有元0y ，使d y x =-0，那么点列},,,,{0000⋯y x y x 显然是“极小化序列”。

因为是基本列，这说明00y x =，也就是说，在M 中使d x x =-0的元0x 是唯一的。

证毕。

定理 （投影定理）设M 为Hilbert 空间X 中闭线性子空间，则对任意X x ∈，x 在M 上的投影存在且唯一，即存在唯一的M x ∈0及M x ⊥1，使10x x x +=证明 由于M 是线性闭子空间，故M 是完备凸子集，令),(M x d ρ=由变分引理知，存在唯一的点M x ∈0，使d x x =-0，设01x x x -=，现证M x ⊥1：任取M z ∈，ο≠z ，则对任意复数λ，M z x ∈+λ0，故220020202),(),(z x x z z x x x x z x x d λλλλ+-----=--≤ 由d x x =-0，移项得 0),(),(2200≤--+-z x x z z x x λλλ 取20),(z z x x -=λ，得0),(20≤-z x x ，故对任意的M z ∈，必有0),(0=-z x x 这表明M x x x ⊥-=01，因此10x x x +=其中M x ∈0，M x ⊥1。