x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的， x U 在 M 中有投影？
3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭（完备）线性子空
x M 及 x M x H 间，则 ，必存在唯一的 0 ，使得 1
1 2 2 ( x, y ) ( x y x y ) 4 则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
1 i 2 2 2 2 ( x, y ) ( x y x y ) ( x iy x iy ) 4 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
（3）若 x M , y N , 有( x, y) 0 ，称 M 与 N 正交， 记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
M { y y x,x M } 。
x U , 若 x M , x M （ 5） 设 M 为 U 的线性子空间， ， 0 1
x(t ) ( x (t )dt ) ， a
2 b 1 2
b
则 L2[a, b] 按范数是完备的内积空间。 若 L2[a, b] 为复值函数，则定义内积
( x, y) x(t ) y(t )dt
a b
（满足三条公理）
例3
在 l {x x ( x1 , x2 , ),
2
2 x i , xi为复数}中， i 1
使得 正交分解。
x x0 x1
（ *）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影， （*）式称为 x 关于 M 的
2) 性质 （1）设 U 是内积空间， x, y U , 若 x y ，则
x y x y
称为“商高定理” ，即勾股定理。
2
2
2
（2）设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ，若
注： 若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性 在内积空间 U 中， 内积 ( x, y) 是两个变元 x, y 的连函数， 即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 ( xn , yn ) ( x, y )
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H （即内积空间 U 按距离 ( x, y) x y ( x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
……………………………….
yn yn xn ( xn , ei )ei en yn i 1
………………………………. 由此得到{e1 , e2 ,
n 1
, en , } 为 U 中的一个规范正交系。
例 （勒让德 Legendre 多项式）在[-1, 1]上连续实值函数 的全体 C[-1, 1]按内积 ( x, y )
2
x 2 x y y ( x y )2
2
( Re( x, y) ( x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
x y x y 2( x y )
证明：
x y x y ( x y, x y ) ( x y, x y ) x ( x, y ) ( y , x ) y
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间 §4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
x x0 x1
注：完备子空间一定是闭子空间，反之不成立； 完备空间的闭子空间一定是完备子空间； 有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。
推广：当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时，定理仍 然成立。
问题：如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0？
§4.3 广义Fourier分析
不满足平行四边形公式） 。
§4. 2 正交分解与投影定理
x, y U , M , N U 1) 定义 （正交性） 设 U 是内积空间，
（1）若 ( x, y ) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x
y；
（2 ） 若 y N , 有( x, y ) 0 ， 称 x 与 N 正交， 记作 x N ；
在 R3 中， e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) 是三个相互正 交的单位向量，则对于 R3 ，有唯一分解
x1e1 x2 e2 x3e3 ，
其中 x1 ( , e1 ), x2 ( , e2 ), x3 ( , e3 ) （由正交性可得） ，即 通过正交性可得到 的唯一分解表达式。 为唯一分解的形式，这将十分有意义。 同样在内积空间 U 中，由正交性也可以将 U 中的元素表示
x, y , z U , , 有 当 U 为内积空间时， 推得：
① ( x, y ) ( x, y ) ② ( x, y z ) ( x, y) ( x, z )
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x ( x, x) ，即 x ( x, x )
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若 x, y U ，存在唯一的数 ( x, y ) K ， 满足下列三条（内积公理） ： ① 对第一变元的线性性：
( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ), z U
5）举例
n 例 1 在 ——n 维（实或复数）向量空间中，
x ( x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) n ， 定义
内积 ( x, y ) xi yi （满足三条公理）
i 1
n
范数
n
x ( x, x)
x
i 1
n
2
i
，
则 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
, xn , } 是 U 中的任一线性无关元素组，
则通过 Schmidt 正交化方法可以构造一组规范正交系。 构造方法如下：
y1 y1 x1 e1 y1
y2 y2 x2 ( x2 , e1 )e1 e2 y2
y3 y3 x3 ( x3 , e1 )e1 ( x3 , e2 )e2 e3 y3
② 共轭对称性： ( x, y) ( y, x) ③ 正定性： ( x, x) 0 ， ( x, x) 0 x 0 则称 ( x, y ) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时， 称 U 为实内积空间； K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
2
( x, y) x y ( x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz） ：
( x, y ) U ，有 x, y x y
2 L 是 [ , ] 中的规范正交系。
在 L [0,2 ] 中，若规定内积
( x, y )

1
2
0
x(t ) y (t )dt
1 则三角函数系 2 , cos t , sin t ,
, cos nt , sin nt ,
2 L 是 [0,2 ] 中
的规范正交系。
（2）规范正交化定理（Gram—Schmidt）格拉姆-施密特 设{x1 , x2 ,
y1 3 e t 取 1 y1 2 ，
5 1 2 e (3t 1) ， 类似的 2 2 2
i 1
按内
积 ( x, y ) xi yi 为规范正交系。
例 3 在 L2 [ , ] 中，若规定内积
( x, y ) x(t ) y (t )dt ，


则三角函数系
2
1 1 1 , cos t , sin t , 2
,
1

cos nt ,
1

sin nt ,
x L ，则 x=0（零元素） 。
（3）设 U 是内积空间， M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
（4）设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
x x0 inf x y
yM
（**）
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
x ( x, y ) ( y, x) y 2( x y )
（ 2） 判别定理
若赋范线性空间 X 的范数
2 2 2 2
满足平行
四边形公式 x y x y 2( x y ) ， 则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义

x ( x1, x2 , ), y ( y1, y2 , ) l 2 ，定义
内积 ( x, y ) xi yi （满足三条公理）