( y 0)
1 dy d( . ) 2 1 d y 1 dy 2 y dx 2( ) 0 方程化为: 2 y dx y dx dx
故有 解得
1 dy c1 y dx
y c2 e (c2 0)
c1 x
c1 x
显然 y 0 也是原方程的解. 故原方程的解为 y c2 e
时间记为
初值问题
，此时
14
C 含量为
，则由假设，
（1）
的解为
其中，k＞0为常数，k前置负号表示 上式表明
14
14
C 的存量是递减的.
即有
C是按指数曲线递减，而常数k可由半衰期确定.记
从而
其半衰期为T，则有
（2）
碳定年代法的根据
由于活着的生物通过新陈代射不断摄取
生物体内的 它停止摄取
14 14
14
C ，使得活着的
d 2 y dp dp dy dp p , 2 dy dx dx dy dx
dy p, dx
dp dp d( p ) d( p ) 3 d y dp 2 d2p dy dy dy p( ) p 2 2 dx3 dx dy dx dy dy

由数学归纳法知, y
(k )
C 与空气中的
14
C 有相同的含量，而生物死之后，
14
C 因而尸体内的
C 由于不断蜕变而不断减少.
14
碳定年代法就是根据死亡之后生物体内的 变化情况来判定生物的死亡时间的.
C
蜕变减少量的
碳定年代法的计算 由(2)式得 由于
（3）
不便于测量，我们可把(3)做如下修改.
对(1)式两边求导，得 而 将上式代入(3)，得
例: 求解微分方程
dy 2 dy ( ) ( x y ) xy 0. dx dx
解：方程右端分解因式，得
dy dy ( x)( y ) 0. dx dx
从而得到两个方程
dy x 0, dx
分别解这两个方程得到： 1 2 y C2 e x . y x C1 ,
II．求解方程 III．分析问题 通过已求得的解的性质，分析实际问题.
1. 等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲 线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己 知曲线的等角轨线. 当所给定的角为直角时，等角轨线就 称为正交轨线. 等角轨线在其它很多学科(如天文、气象 等)中都有应用. 下面就来介绍求等角轨线的方法.
就不能用初等积分求解．
这说明初等积分法有相当的局限性．
但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认 为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也是初 学者的基本训练之一．
作 业
P48: 4 (9),(14)
2.3 模型
一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的 过程分以下三个步骤： I．建立方程
对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些 等量关系列出微分方程和相应初值条件
即
y ( k ) ( x, c1 , c2 , cn k )
对上式进行k次积分,可求出原方程的解.
例１、 求解方程
解: 令
d4y z ,则方程可化为: 4 dx dz 1 z0 关于z的一阶方程 dx x
d y 1d y 0 5 4 dx x dx
5
4
通解是: 即
z cx
的左端是某个函数 ( x, y, y,…y n-1， 对x的导数， ) 即
dy dny d dy d n1 y F ( x, y, ，……， n ) ( x, y, , ……， n1 ) dx dx dx dx dx
则称方程为恰当导数方程。
dy d n 1 y 显然，原方程积分得： ( x, y, , ……， n 1 ) C dx dx 通过求解该n-1阶方程得到原方程的解。
x f y, y
降阶法： F y, y,..., y n 0
F x, y ,..., y

k
n
0
k 1


恰当导数方程
2．初等积分法的历史地位 自1676年微分方程的研究工作开始，其后100多 年间是初等积分发展的重要时期。1841年法国数学家 （Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等 积分求解，例如方程
注意有时还要讨论p=0时方程的解。
本节要点
1．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即 尽可能化成显式方程求解，其次再考虑用参数法求 解． 2．理解好参数解法原理。
作 业
P48: 1(1),(3)
二、几种可降阶的高阶方程
前几节介绍了一些一阶微分方程的初等积
分解法,在实际的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用中，还会遇到高阶的微
这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明 显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数. 列出微分方
程的关键就在于找到外力f和位移及其对时间的导数——速度
的关系. 只要找到这个关系，就可以由 方程了。 在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解 条件，如初值条件等. 列出微分
例2：物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的 作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4／5)，空气阻力可看 做与速度的平方成正比。试证明在这种情况下，落体存在极限速 度 。 解 设物体质量为m,空气阻力系数为k ，又设在时刻 t
, , y ) 0
(n)
方程不显含未知函数及其直到 k 1(k 1) 阶导数。
求解方法: 令 y ( k ) z ,就可把方程化为关于
n k 阶方程:
z
的
, z ( nk ) ) 0 F ( x, z, z
若能求得其通解为:
降阶
z ( x, c1 , c2 , cnk )
第二章
初等积分法
本章主要内容
2.1 初等积分法
2.1.1 分离变量法 2.1.2 线性方程 2.1.3 全微分方程与积分因子
2.2 可化为初等积分法求解的方程
2.3 模型
一、一阶隐式微分方程
本节讨论如何求解隐式微分方程
F ( x, y, y) 0
该问题我们分两种情形讨论。
1. 若能从隐式方程中解出 y, 则得到一个或几个 显式方程，从而可利用前面介绍的方法求解。

消去C
例1 求直线束 解 首先求直线族

的等角轨线和正交轨线. 的微分方程. 消去C，就得到
1）等角轨线的微分方程为
或 积分
即
即等角轨线为 如果写成极坐标形式，不难看出为对数螺线 2）正交轨线的微分方程为
求解
故正交轨线为同心圆族
2. 动力学问题
前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律
C ，这 种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而
动物又以植物作食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内. 由于
14
14
C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都
在不断蜕变，我们先求出这种蜕变规律。
通常假设蜕变速度与该时刻
14
C 的存量成正比.
设在时刻t(年)生物体中 14 C 的存量为x(t)，生物体的死亡
原方程的通解可以表示 为
2
1 2 ( y x C1 )( y C2e x ) 0. 2
dy y 0. dx
我们可用以下的 2. 对于不能解出 y 的隐式方程， 参数法求解。
（1）
dy ) （2） x f ( y, dx
方法概括：
1. 2. 3.
d 2 y dy 2 例3 求解方程 y ( ) 0 2 dx dx
解：原方程可以写成
故有 即
d ( yy ' ) 0 dx yy C
ydy Cdx
积分后得通解为 y 2 C1 x C2
例4 求解方程
d y dy 2 y 2 ( ) 0 dx dx

1 y2
2
解: 方程两边乘以积分因 子
（4）
上面两式相除，得
这样由(4)可知，只要知道生物体中在死亡时
14
C 的蜕变速度
x 0 和现在时刻t的蜕变速度 x t ，就可以求得生物体的
死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中 速度与生物体死亡时代生物体中
14 14
C 的蜕变
C
的蜕变速度相同.
马王堆一号墓年代的确定 马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的
d4y cx 4 dx
对上式积分四次,得原方程的通解为:
y c1 x5 c2 x3 c3 x 2 c4 x c5
（2） 第二种可降阶的高阶方程
形如： 特点：
F ( y, y,, y ( n ) ) 0
方程中不显含未知函数y的自变量x。
求解方法:
则
用
p y
作为新未知函数,
常数变易法
dy P x y Q x dx dy P x y Q x y n , n 0,1 dx
积分因子法：将方程化为全微分方程 参数法：

F x, y 0,
F y, y 0
y f x, y ,
物体的下落速度为v, 于是在时刻 t,物体所受的合外力为
重力 - 空气阻力
这里建立的坐标系，使得重力mg方向向下，与运动方向一致， 空气阻力方向向上，与运动方向相反。 从而，根据牛顿第二定律
可列出微分方程
因为是自由落体，所以有 从而 积分得：
或 当 据测定 时,有
解出v，得
,其 为物体形状有关常数, 中 为物体在地面上的投影面积.