椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。
（1）求椭圆C的方程。
（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。
（2）求过点且与的准线相切的圆的方程.12.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。
13.已知是椭圆C：的两个焦点，为上的点，为坐标原点。
（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求的值和a的取值范围。
14.已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.15.在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．16.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。
17.已知曲线C: ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 18.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．19.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求．20.双曲线（）.（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为9，求的值；21.已知两定点F1（﹣，0），F2（，0），满足条件|PF2|﹣|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 ，求直线AB的方程．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：设，，，则.椭圆的标准方程为.（2）解：由（1）可知左顶点，且过点的直线和的斜率存在，设直线和的方程分别为和，设，联立，直线和椭圆交于两点，，，同理.设轴上存在一定点，使得成立，则，，则，，即，解得.因此轴上存在一定点，使得成立.【解析】【分析】（1）设，根据题意可得，结合椭圆的方程化简可得，再由即可求解. （2）根据设直线和的方程分别为和，将直线方程与椭圆方程联立求出、，设轴上存在一定点，使得成立，则，利用两点求斜率化简即可求得.2.【答案】（1）解：设F1（-c，0），F2（c，0），△F1AF2的面积为，所以×2c× = ，得c=1，所以b2=a2-c2=a2-1。
又因为点A（，）在椭圆C上，所以=1，解得a=2，故b= ，所以椭圆C的方程为=1。
（2）解：假设在y轴上存在点E，使∠OEB=∠OED，设E（0，m），B（x1，y1），D（x2，y2），则由k EB+k ED=0，可得=0。
即x2（y1-m）+x1（y2-m）=0，所以x2（kx1+1-m）+x1（kx2+1-m）=0，即2kx1x2+（1-m）（x1+x2）=0。
联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0则x1+x2= ，x1x2= ，代入2kx1x2+（1-m）（x1+x2）=0，得k（3-m）=0，所以m=3。
故在y轴上存在点E（0，3），使∠OEB=∠OED。
【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出左、右焦点坐标，再利用点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为，再结合代入法和三角形面积公式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）假设在y轴上存在点E，使∠OEB=∠OED，设E（0，m），B（x1，y1），D（x2，y2），则由k EB+k ED=0，再利用两点求斜率公式，从而得出=0，再利用直线y=kx+1和椭圆C 交于B，D两点，联立二者方程求出交点坐标，从而求出m的值，从而得出在y轴上存在点E（0，3），使∠OEB=∠OED。
3.【答案】（1）解：因为点是椭圆的右项点，所以. 又，所以.又，所以所以椭圆的方程为.（2）解：若直线l与x轴垂直，则，则，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为，联立，消去，得则有直线的斜率为，直线的斜率为），所以. 又，化简得.又，所以，化简得，解得或，又时，过点，故舍去，所以直线l的方程为.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可；（2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可.4.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，.所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率.在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。
（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）由已知条件写出直线的点斜式，把直线的方程跟椭圆的方程联立，用表示出P点的坐标，进而求出,在通过已知条件求出，由，得出求出的值，进而得出直线的斜率。
5.【答案】（1）解：设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y= 上两点，则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y= 的导数为y′= x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为• =﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．【解析】【分析】（1.）设A（x1，），B（x2，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；（2.）设M（m，），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1，x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．6.【答案】（1）解：由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标,得到直线l的方程,代入椭圆方程中求出点A,B的坐标,再求出直线AM的方程;(2) 等价于直线MA,MB的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到椭圆的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线MA,MB的斜率的和为0,得证.7.【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴= = =﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2= ，则= == = =﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．8.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得，解得.所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故椭圆方程为.由题意，，则直线的方程为.点P的坐标满足，消去并化简，得到，解得，代入到的方程，解得.因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设.因为，且由（Ⅰ）知，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相切，得，可得.所以，椭圆的方程为【解析】【分析】（Ⅰ）由|得，，又，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）点斜式设出直线的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用表示出点P,再由圆心在直线上，设，由，列出关于等式，求出，再由圆与轴相切求出，即可求出椭圆的方程．9.【答案】（1）解：设设A（x1,y1）B（x2,y2）所以又所以所以（2）解：F（1,0）所以P（1，-2m）在抛物线上所以3+16m2=12 16m2=9即又同理所以所以【解析】【分析】（1）联立方程解，韦达定理;（2）向量坐标运算，得到P坐标在椭圆上，即P坐标已知，再用两点间距离公式得到，用第一问结论代入10.【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则• =0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由• =x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则• =x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由• =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2= ．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由• =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得• =0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得• =0，则坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由题意可知：• =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．11.【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0X1+x2=2+而，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得：或因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。