热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离，点 F 不在准线上)． 温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义 中隐含条件导致错误．
F→M·F→N＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
Байду номын сангаас
解析：依题设，直线方程为 y＝23(x＋2)，
由y＝23（x＋2），得 x2－5x＋4＝0，解得 x＝1 或 x y2＝4x，
＝4，
所以xy＝＝21，，或xy＝＝44.， 不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)， 所以F→M＝(0，2)，F→N＝(3，4)，所以F→M·F→N＝8. 答案：D
则 |bac2－＋0b|2＝3，所以 b＝3. 因为双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，
所以ac＝2，a2＋a2b2＝4，所以a2a＋2 9＝4，解得 a2＝3， 所以双曲线的方程为x32－y92＝1. (2)由 x2＝4y，知 F(0，1)，准线 l：y＝－1. 设点 M(x0，y0)，且 x0＞0，y0＞0. 由F→M＝M→N，知点 M 是线段 FN 的中点，N 是 FT 中点．
【例 1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线xa22－by22＝1(a
＞0，b＞0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线
与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐
近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方 程为( )
A.x42－1y22 ＝1 C.x32－y92＝1
2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)． (2)双曲线：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)． (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p ＞0)．
4．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆 C：x22＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2， 0)．
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. (1)解：由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x＝1. 由已知可得，点 A 的坐标为1， 22或1，－ 22. 所以 AM 的方程为 y＝－ 22x＋ 2或 y＝ 22x－ 2.
所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝± 2x.
法二 由 e＝ac＝ 1＋ba2＝ 3，得ba＝ 2， 所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝± 2x. 答案：A
2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，
过点(－2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则
专题五 解析几何
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的
离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A．y＝± 2x
B．y＝± 3x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 2x
解析：法一 由题意知，e＝ac＝ 3，所以 c＝ 3a，
所以 b＝ c2－a2＝ 2a，即ba＝ 2，
上，如图所示，设|F1F2|＝2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形， 且∠F1F2P＝120°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c. 因为|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠PF2E＝60°， 所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c)． 因为点 P 在过点 A，且斜率为 63的直线上， 所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14， 所以 e＝14. 答案：D
从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以 选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．
2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．
由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－3k2（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－12. 则 2kx1x2 － 3k(x1 ＋ x2) ＋ 4k ＝ 4k3－4k－2k122＋k3＋1 8k3＋4k＝0.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P
＝120°，则 C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
D.14
解析：由题意可知椭圆的焦点在 x 轴
B.1x22 －y42＝1 D.x92－y32＝1
(2)(2018·烟台二模)已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延长线交 x 轴的正 半轴于点 N，交抛物线 C 的准线 l 于点 T，且F→M＝M→N， 则|NT|＝________．
解析：(1)由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线 的距离为 3，
(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ∠OMA＝∠OMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x －1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＜ 2，x2＜ 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2.