椭圆、双曲线、抛物线专题训练一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．42．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B .若FA ＝3FB ，则|AF |＝ ( )A. 2 B ．2 C.3 D ．33．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π124．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.135．双曲线x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若线段PF 1的中点在y 轴上，那么点P 到双曲线左准线的距离是( )A.133B.53C.154D.946．(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，则|PA |＋d 的最小值是( )A.72B ．4 C.92D ．5二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________．8．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1·x 2＝－2，则抛物线C 的方程为________．9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程．11．(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. (1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．12．(本小题满分16分)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A 、B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝ba x 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．1．(精选考题·合肥模拟)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3 C.233或2 D.233或622．已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，则在抛物线C 上且满足△OFP 为等腰直角三角形的点P 的个数为( )A ．2B ．4C ．2或4D ．P 点不存在3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x4．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. 3B. 6 C ．2 D ．5．(精选考题·温州十校模拟)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为F (－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是(1，12)．(1)求该椭圆的标准方程；(2)过坐标原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，求△ABC 的面积的最大值．6．(精选考题·茂名模拟)已知圆Q 过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心Q 在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆Q 在x 轴上所截得的弦．(1)当Q 点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆Q 的位置关系，并说明理由．参考答案:1. 解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：C2. 解析：BM 垂直于右准线于M ，右准线与x 轴交于N ，易求得椭圆的离心率为e ＝22，由椭圆的第二定义得BM ＝BF e ，在Rt △AMB 中，BM AB ＝BF e ·AB ＝12e ＝22，它为等腰直角三角形，则△ANF 也为等腰直角三角形，FN ＝b 2c＝1，则|AF |＝ 2.答案：A3. 解析：设准线为l ，作ND ⊥l ，垂足为D ，在Rt △NMD 中，sin ∠NMD ＝|ND ||NM |＝|NF ||MN |＝32，∴∠NMD ＝π3，∴∠NMF ＝π6. 答案：A4. 解析：由题意知点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a )， ∵∠F 1PF 2＝60°，∴2cb 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)． ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：B5. 解析：双曲线x 24－y 25＝1的左准线方程为x ＝－43，离心率为e ＝32，左焦点F 1(－3,0)．设P (x 0，y 0)，则PF 1的中点(x 0－32，y 02)在y 轴上．∴x 0＝3，而P (3，y 0)在双曲线上． ∴94－y 205＝1，取y 0＝52， 由双曲线定义知|PF 1|d ＝e ，∴d ＝|PF 1|e ＝133.答案：A6. 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5.答案：D7. 解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点(10，83)∴λ＝36∴双曲线方程为x 236－y 24＝1.答案：x 236－y 24＝18. 解析：设抛物线C 的方程为y ＝ax 2，过点M (0,1)的直线方程为y －1＝kx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y －1＝kx ，消y ，得ax 2－kx －1＝0. ∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－1a .∴－1a ＝－2.∴a ＝12.∴抛物线C 的方程为x 2＝2y . 答案：x 2＝2y9. 解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x10. 解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋(－3)2b2＝1， 又e ＝c a ＝12，解得：a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得：(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0.整理得：k AB ＝－12·(x 1＋x 2)16·(y 1＋y 2)＝38，则所求直线的方程为：y －2＝38(x ＋1)，即：3x －8y ＋19＝0.11. 解：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，故c 2＝22，c ＝1. 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时， 有OP ＝OA ＋OB 成立． 由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP ＝OA ＋OB 成立的充要条件是P 点的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6. 又A 、B 在C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0. ① (8分) 将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1 · y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得，k 2＝2.此时x 1＋x 2＝32.于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k 2，即P (32，－k 2)．因此，当k ＝－2时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时 ，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0.②当l 垂直于x 轴时，由OA ＋OB ＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP ＝OA ＋OB 成立．综上，C 上存在点P (32，±22)使OP ＝OA ＋OB 成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.12. 解：(1)如图，设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.∵l 和l 2关于l 1对称，设它们交点为P .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， ∴tan30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233. (2)由b a ＝33.于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1.即x 2－3y 2＝3k 2. 将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝ 3.求得k 2＝1. 于是所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.参考答案1. 解析：由题可知，当双曲线的焦点在x 轴上时，渐近线的方程为y ＝±ba x ，由已知可知|2b |a 2＋b 2＝1，易得双曲线的离心率e ＝233，当双曲线的焦点在y 轴上时，渐近线的方程为y ＝±a b x ，由已知可得|2a |a 2＋b 2＝1，易得双曲线的离心率e ＝2.答案：C2. 解析：如图作PD ⊥l (准线)于D ，以F 为直角，则PF ＝OF ＝PD 无解；若以P 为直角，∠POF ＝45°，直线PO 的方程y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝4x 得P (4,4)，不满足OP ＝PF .同理直线y ＝－x 与y 2＝4x 交于(4，－4)也不满足OP ＝PF .答案：D3. 解析：如图，分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 、N ，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝|AB |＝8，又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p2⇒p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：B4. 解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a 2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a 2a ＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 6.答案：B5. 解：(1)由题意知a ＝2，c ＝3，故b ＝1， 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当BC 垂直于x 轴时，|BC |＝2，S △ABC ＝1， 当BC 不垂直于x 轴时，设直线BC 的方程为y ＝kx ，代入x 24＋y 2＝1，得x 2＝41＋4k 2，|BC |＝1＋k 2· |x 2－x 1|＝41＋k 21＋4k 2， 又点A 到直线BC 的距离d ＝|k －12|1＋k 2＝|2k －1|21＋k 2， ∴S △ABC ＝12|BC | · d ＝|2k －1|1＋4k 2＝1－4k4k 2＋1， ∵当k ＞0时，1＋4k 24k ＝14k ＋k ≥1，当k ＜0时，1＋4k 24k ≤－1，故易知1≥4k 1＋4k2≥－1，得(S △ABC )max ＝2，此时k ＝－12.6. 解：(1)法一：当Q 点运动时，|MN |没有变化．证明如下： 设Q (x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(p ＞0)，则圆Q 的半径|QA |＝x 20＋(y 0－p )2，圆Q 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2.令y ＝0，并把x 20＝2py 0代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，∴|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ，∴|MN |不变化，为定值2p . 法二：当Q 点运动时，|MN |没有变化，证明如下：设Q (x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(p ＞0)，则圆Q 的半径r ＝|QA |＝x 20＋(y 0－p )2，圆心Q 到MN 的距离d 等于点Q 到x 轴的距离，所以d ＝|y 0|.由弦长公式得|MN |＝2r 2－d 2＝2x 20＋(y 0－p )2－y 20＝2x 20＋y 20－2py 0＋p 2－y 20 ＝2x 20－2py 0＋p 2＝2|p |＝2p .∴|MN |不变化，为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)． 由题意：2|OA |＝|OM |＋|ON |， 得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |，则－p ≤x 0≤p . ∵点Q 到抛物线C 的准线y ＝－p2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p，圆Q 的半径r ＝|QA |＝x 20＋(y 0－p )2学习必备 欢迎下载 ＝x 20＋(x 202p －p )2＝12p x 40＋4p 4， ∴r 2－d 2＝x 40＋4p 44p 2－(x 20＋p 2)24p 2＝－2x 20＋3p 24 ＝32p 2－x 202. 又∵－p ≤x 0≤p ，∴x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，得r 2－d 2＞0. 故r ＞d ，即圆Q 与抛物线C 的准线总相交．。