2x3
m NISen
B
0m
2 π x3
I S enm
B
0m
2 π x3
en
说明：
1. m 的方向与载流线圈的 单位正法矢 en的方向相同。
m
en
I S
2. 对任意形状的平面载流线圈都适用。
例 载流直螺线管内部的磁场.
如图所示，有一长为l ，半径为R的载 流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管 内轴线上一点处的磁感应强度.
dB
0
4π
Idl r2
I
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
B 0I 4π
cosdl
l r2
Idl
R
πR
dl
0
o I
x
*p x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
讨 论
（1）若线圈有 N 匝
B
N
（2 x2
0 IR2
R
） 2
3 2
（2）x 0 B 0I
R
1
x1 O* 2
x2 x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
讨论
B
0nI
2
cos2
cos1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos 2
l/2
l / 22 R2
R
1
* P
2
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
B
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
R
P
*
×× ××× × ×× ××× ×× ×
解 螺线管可看成圆形电流的组合
由圆形电流磁场公式
B
0 IR 2
2(x2 R2 )3/ 2
dB 0 2
R2 Indx R2 x2 3/2
n N l
R
P
O* x
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
dx
x Rcot
dx R csc2 d
•磁场对磁体、运动电荷或载流导线有磁场力的 作用；
•载流导线在磁场中运动时，磁场力要作功—— 磁场具有能量。
2. 磁感应强度 实验：运动电荷在磁场中的受力情况 •磁场力F：与q、v大小及方向有关，且⊥速度方向
•沿某一特定方向运动时，不受磁场力作用（B的方向） •沿垂直于该特定方向运动时，所受的磁场力最大
第四章 稳恒电流的磁场
§1 磁场 磁感应强度 §2 毕奥－萨伐尔定律 §3 磁通量 磁场的高斯定理 §4 安培环路定理 §5 磁场对运动电荷的作用 §6 磁场对电流的作用
§1 磁场 磁感应强度
1.1 磁现象 公元前600年，古希腊人就发现了磁石吸铁现象； 11世纪初，我国首先将指南针应用于海上航行。
B Bxi By j Bzk
2.2 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例 载流长直导线的磁场.
z
D 2
dz r
z
I
x o r0
C 1
dB
*P y
解
dB
0
4π
Idz sin
r2
dB
方向均沿
x 轴的负方向
B
dB
0
4π
CD
Idz sin
r2
B
dB
0
4π
CD
Idz sin
r2
z r0 cot , r r0 / sin
若 l R
B 0nI
R
1
* P
2
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
或由
B
0nI
2
cos2
c os 1
对于无限长的螺线管 1 π，2 0
故 B 0nI 与轴线上点的位置无关
R
1
* P
2
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
（2）半无限长螺线管的端点处
r
Idl
方向：右手螺旋法则
P
v dB
0
4
v Idl
evr
r2
0
4
v Idl
rv
r3
Idl
O
dB
P
r
Idl
L
P
dB
dB
Idl
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
dB
5
0
4π
Idl
r
r3
1、5点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
S极: 磁体指向地球南极的一端 N极: 磁体指向地球北极的一端
同极相斥，异极相吸
安培分子电流假说
磁现象的本质是电荷的运动 磁极不能单独存在
➢电与磁
电流
磁体
I
电流
I1
电流
F
F
I2
磁体
电流
I N F
S
1.2 磁场 磁感应强度 1. 磁场
载流导线
磁
载流导线
运动电荷
运动电荷
磁体
场
磁体
•在运动电荷、电流、磁体周围空间存在着磁场
z
dz r0d / sin2
D 2
dz r
z
I
x o r0
C 1
dB
*P y
B 0I 2 sin d
4 π r0 1
0I
4 π r0
(cos1
cos2 )
B 的方向沿 x 轴负方向
B
0I
4 π r0
(cos
1
cos 2 )
无限长载流长直导线
z
D 2
1 0 2 π
B 0I
2 π r0
B
dB 0nI
2
x2 R2dx x1 R2 x2 3/ 2
R2 x2 R2 / sin2 R2 csc2
R
1
x1 O* 2
x2 x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
B 0nI 2 R3csc2d
2 1 R3 csc3 d
0nI 2 sin d 2 1
I
xo
C 1
B
×
P
y
半无限长载流长直导线
1
π 2
2 π
BP
0I
4πr
B 0I 4 r
B 0I r
B 0 B 4 20I 20I 4 r r
例 圆形载流导线轴线上的磁场.
解 分析点P处磁场方向得：B Bx dBcos
Idl
cos R r
R
o
r
dB
r2 R2 x2
x
*p x
Fmax /qv 与q、v无关
磁感应强度
B Fmax qv
r F
qvr
r B
F
B
q
v
单位：特斯拉、高斯 1T=104G 方向：右手螺旋
§2 毕奥－萨伐尔定律
2.1 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
毕－萨定律：
dB
0
4π
Idl sin
r2
0 4107 N A2
（真空磁导率）
dB
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
毕奥－萨伐尔定律
磁感应强度矢量叠加原理
对任意载有稳恒电流的导体或导体回路，其在场
点P产生的磁感应强度
B
dB
0
Idl
er
4π r2
注意：此式为矢量积分
在直角坐标系中：
dB dBxi dBy j dBzk
Bx dBx , By dBy , Bz dBz
2R
R
o
r
x
B
*p
x
（3）x B
R
0IR2
2x3
，
I
B 0IS
2 π x3
(1)
R
B0
x
Io
推 (2)
I
R
广
o×
(3) I
R ×o
B0
0I
2R
B0
0I
4R
B0
0I
8R
(4)
(5) I
d *A
R1
R2
*o
BA
0I
4πd
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4 π R1
三 磁偶极矩
m ISen
B
0 IR 2