第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式 A 。

A ． B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

A ．n D 中有两行(或列)元素对应成比例B ．n D 中有一行(或列)元素全为零C ．nD 中各列元素之和为零 D ．以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ，下列说法正确的是 C 。

A.111)(---=B A AB B.B A B A +=+ C. T T T A B AB =)( D.AB BA =10、设,A B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是 B 。

A.11()A A --= B.11()A A λλ--= C.111()AB B A ---= D.11()()T T A A --=由运算法则，就有111()A A λλ--=。

11、设A 为n 阶方阵，且0A a =≠，则A *= C 。

A ．a B ．1aC ．1n a -D ．n a 因为11111n n n A A A A A A A A A AA--*-*--=⇒===⋅=。

12、矩阵12103102122a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为2，则a = D 。

A. 2B. 3C.4通过初等变换，由秩为2可得：12101210310207321220500a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭:三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式：4111141111411114。

解：341117111111111111411741114110300========7=====7=73=18911417141114100301114711411140003⨯各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上。

14、计算行列式：44332211000000a b a b b a b a 。

解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：4433221100000000a b a b b a b a =22221333314142323441()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。

15、问λ取何值时，齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解。

解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：()()231321232(1)124034(1)0=231=====011+232,0,2,3111111r r r r λλλλλλλλλλλλλλ-----------=---⇒===-- 16、设矩阵2011,3125A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算2211()B A B A ---。

解：因为2,7A B ==-，所以都可逆，有22112212311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

17、解矩阵方程AX B X +=，求X ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---350211,101111010B 。

解：1()()AX B X A E X B X A E B -+=⇒-=-⇒=--,102313()1231301313A E ---⎛⎫ ⎪⇒-=--⇒ ⎪ ⎪-⎝⎭ 131()2011X A E B --⎛⎫ ⎪=--= ⎪⎪-⎝⎭。

18、设5200210000120011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算1A -。

解：111111221111205212121323,021251113112002500000132300011AA A A A A A A ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭四、证明题(每小题5分，共10分)19、设n 阶方阵A 满足()30A E +=，证明矩阵A 可逆，并写出A 逆矩阵的表达式。

证明：因为()3322330(33)A E A A A E A A A E E +=+++=⇒++=-，从而212(33)33A A A E EA A A E ----=-⇒=---。

20、若矩阵TA A =-，则称矩阵A 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。

证明：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则 (1)0TT n T A AA A A AA =-⇒=-=-=-⇒=，所以A 不可逆，即A 不是满秩矩阵。

第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 A 为3阶方阵,且2,A =-*A 是A 的伴随矩阵,则1*4A A -+= -4 。

因为：11111112442284A A A AA A A A A A *---*----==-⇒+=-===-。

2、A 为5×3矩阵,秩(A )=3,B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201,则秩(AB )= 3 。

因为B 可逆，AB 相当于对A 作列初等变换，不改变A 的秩。

3、12123,,,,ααβββ均为4维列向量，1123(,,,)A αβββ=，2123(,,,)B αβββ=，1A =，4B = ，则A B += 40 。

()12123121231212311232123(,2,2,2)(,2,2,2)8,,,)8,,,,,,8(14)40A B A B ααβββααβββααβββαβββαβββ+=+⇒+=+=+=+=+=。

4、121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，32t β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且4Tαβ=，则t = -4 。

()121362442Tt t t αβ⎛⎫⎪==++=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭。

5、如果n 元非齐次线性方程组AX B =有解，()R A r =，则当 n 时有唯一解；当 < n 时有无穷多解。

非齐次线性方程组有解的定义。

6、设四元方程组AX B =的3个解是123,,ααα。

其中1231213,1415ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如()3R A =，则方程组AXB =的通解是01112131k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

因为()3R A =，所以0AX =的基础解系含4-3=1个解向量；又2131,αααα--都是0AX =的解，相加也是0AX =的解，从而可得0AX =的一个解为：()()()213123121031122412513ξααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是AX B =的通解为：101112131X k k ξα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。

A.互换两行 B.非零数乘某一行C.某行某列互换D.非零数乘某一行加到另外一行8、n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 为单位矩阵，则必有 D 。

A.ACB E = B.CBA E = C.BAC E = D.BCA E =矩阵乘法不满足变换律，而D 中11ABC E A ABCA A EA BCA E --=⇒=⇒=。

9、矩阵121031021122t ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭的秩为2，则t = D A. 3 B. 4 C.5通过初等变换，由秩为2可得：121012103102073211220600t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭:。

10、若方阵n n A ⨯不可逆，则A 的列向量中 C 。

A. 必有一个向量为零向量B. 必有二个向量对应分量成比例C. 必有一个向量是其余向量的线性组合D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵n n A ⨯不可逆，则A 的列向量线性相关，，由定义可得。

11、若r 维向量组m αααΛ21,线性相关，α为任一r 维向量，则 A 。

A. αααα,,21m Λ线性相关 B. αααα,,21m Λ线性无关C. αααα,,21m Λ线性相关性不定D. m αααΛ21,中一定有零向量 由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。

12、若矩阵54⨯A 有一个3阶子式为0，则 C 。

A.秩(A )≤2B. 秩(A )≤3C. 秩(A )≤4D. 秩(A )≤5由矩阵秩的性质可知：()45min{4,5}R A ⨯≤，而有一个3阶子式为0，不排除4阶子式不为0。