0
0
(D)
I
a dy
0
ay y2 ay y2
f (x, y)dx
a11
a12
a13
a12
a13
（5）设 A a21 a22 a23 为可逆矩阵， B a22 a23
a31
a32
a33
a32
a33
a11
a13
a21 a23
a31
a33
0
又
P1
1
0
1 0 0
0
0
0
（Ⅱ）求 lim f ( x) f ( x) ．
x0
x
1 1 2
a 4 0
（20）（本题满分
11
分）设
A
1
1
1 0
0

，
B
1
1
1
0 b
c 1
,问 a,b, c
为何值时，矩阵方程
AX
B
有解，
有解时求出全部解.
（21） （本题满分 11 分）已知三元二次型 xT Ax 的平方项系数均为 0，设 (1, 2, 1)T 且满足 A 2. (I) 求该二次型表达式；(II)求正交变换 x Qy 化二次形为标准型，并写出所用正交变换；(III)若 A + kE 正 定，求 k 的取值.
______________ 时，方向导数达到最大值.
（12）若将 f (x) xnx 的极值点记为 an , (n 2, 3, 4) ，则幂级数 an xn 的收敛域为
.
n2
（13）已知向量组
1＝1111
，
2＝
2 3
11
，
3＝
t 4 2 0
的秩是
2，则
t
＝
.
（14）设总体 X
（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
f
(x,
y)
x
2
xy 3
,0
x
1, 0
y
2
0, 其他
（I）求 X ,Y 的边缘密度函数；（II）求 P( X +Y 1) ；（III）判断 X 与Y 是否独立.
4
2019 考研数学模拟试卷
（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的密度函数为
（4）设累次积分 I
2 2
d
acos f (r cos , r sin )rdr ， a 0 ，则 I 可写成（
0
）.
(A)
I
a dx
a
a2 x2 a2 x2
f (x, y)dy
(B)
I
a dx
0
ax x2 ax x2
f (x, y)dy
(C) I 2 a dx axx2 f (x, y)dy
.
（17）（本题满分 10 分）设函数 f (z) 在 z 0 时有连续的导数，且 f (0 ) 存在，如果对上半空间 z 0 内
的 任意封闭曲面 恒有
(xy x2 y xz2 ) d y d z (xy2 2 yf (z)) d z d x (zf (z) yz) d x d y 0
穷小，则（ ）．
(A) a 20, k 4 (B) a 30, k 4 (C) a 20, k 3 (D) a 30, k 3
（2）设有曲线
y
ln
x
与
y
kx2
，当
k
1 2e
时，它们之间（
）．
(A) 没有交点
(B) 仅有一个交点
(C) 有两个交点 (D) 有三个交点
（3）已知微分方程 y 4 y ay xebx 的通解形式是 y c1e2x c2 xe2x ( Ax B)ebx ，则（ ）. (A) a 4,b 2 (B) a 4,b 2 (C) a 4,b 2 (D) a 4,b 2
（8） 设随机变量 X 为具有概率密度函数 f (x) 的非负随机变量，其方差存在，则 P( X x)dx 0
（
）。
（A） EX
（B） EX 2
（C） DX
（D） 1
二、填空题:9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中的横线上.
(9)
lim( arctan
1
x ) ex2 1
a1 a2 a3 2, 0, 5, 4T , a2 2a3 3,12,3,3T , a3 2a1 2, 4,1 2T 则 方 程 组 Ax b 的 通 解
x _____
2
2019 考研数学模拟试卷
1 2 1
（A）
4 1
k1
2
2
k2
4 6
,
1
1
3
2 2
（C）
0
.
x0
x
（10）设 f (x) 在[0,1] 上有连续的导数, f (1) 0 ,且有 xf (x) f (x) xex2 ,则
1 f (x)d x 0
.
（ 11 ） 求 函 数
f (x, y)
x2 y2 2
在 点 (1,1) 沿 与 x 轴 方 向 夹 角 为
的射线 l
的方向导数.
那么当
10
分）求级数
n2
1 (n2
1)
x
n1
的收敛域及和函数
S
(
x)
；且求级数
n2
(n2
1 1)2n
的和.
（19）（本题满分 10 分）设 f (x) 在[a, a] 上连续，在 x 0 处可导，且 f (0)=1．
（Ⅰ）证明对 x (0, a] ，存在 (0,1) 使得 x f (t) d t x f (t) d t x[ f ( x) f ( x)] ；
由
x ln(t
y eu2 d u 0
1
t
1 t2 ), sin u 1 u2
du
确定，求
0
d2 y d x2
t0
．
（16）（本题满分
10
分）设
f
(u, v)
有二阶连续的偏导数，且满足
2 f u 2
2 v
f
2
1 ，又
g(x, y)
f
( xy,
1 2
(
x2
y2 )) ，求
2g x2
2g y 2
2019 考研数学模拟试卷
2019 年合工大全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试卷 （模拟 1）
考生注意:本试卷共二十三题,满分 150 分,考试时间为 3 小时.
（1） 设 xk sin x 是 f (x) 的一个原函数， g(x) a ( x2 1 t 1) d t ，若 x 0 时 f (x) 与 g(x) 是等价无 0
0 1
1 0 0
P2
0
0
1
0 1 0
1 0 0
P3
0
1
0
0 1 1
1 0 0
P4
0
1
0
1 0 1
则 B1 （
）
(A) P2 A1P4
(B) A1P2 P3
(C) P1P3 A1
(D) P4 P1 A1
（6）设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 a1, a2 , a3 是线性方程组 Ax b 的解，且
f
(x)
3x2 3
,
0 x
0,
其他
X1,, X n 为总体 X 的简单随机样本，（I）求参数 矩估计ˆJ 与极大似然估计ˆL ；（II）求ˆL 的分布密度
函数 fˆ (z) ；（III）考查统计量ˆJ 与ˆL 关于 的无偏估计性.
5
（1）求函数
f
(z) 的表达式；（2）若曲面
是由曲线 C
:
z
1 y2,0 x 0,
y
1,
绕
z
轴旋转一周所形成的曲
面的上侧，求积分 (xy x2 y xz2 ) d y d z (xy2 2 yf (z)) d z d x (zf (z) yz) d x d y 的值.
（18）（本题满分
~
N (, 2 ) ， X1,, X n 与 X n1 是 X
的简单随机样本，而
X
1 n
n 1
Xi
为样本均值，方
差 D( X n1 X )2
.
三、解答题:15～23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
2019 考研数学模拟试卷
（15）（本题满分
10
分）设
y
y(x)
5
k
2
2
,
4
1
2 2 1
（B）
4 1
k1
2
2
k2
8 2
,
2
1
5
2 1
（D）
4 1
k
12
8
.
2
1
（7）设随机事件 A, B 独立，且概率 P( A) 0.4, P( AB) 0.2 P( A B) （ ）
（A） 0.6
（B） 0.2
（C） 0.3
（D）0.5