x 2 2 2 ⎪ +∞ - x +∞ - x 2
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考研数学 考试真题（2019最新）
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当 x →0 时， x - tan x 与x k 同阶，求
k （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
⎡ π 3 ⎤ A. y = x sin x + 2cos x ⎢⎣x ∈(- 2 , 2 π )⎥⎦ 的拐点坐标 A. ⎛ π , 2 ⎫ ⎝ ⎭
B. (0,
2) C. (π , -2)
D. ( 3 π , - 3 π ) 2 2
3.下列反常积分收敛的是
•
⎰0 xe dx • ⎰0 xe dx
• +∞ arc tan x dx ⎰0 1+ x 2
• +∞ x dx
⎰
0 1+ x 2 4.已知微分方程 y ' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A. C x )e x + e x ，则 a 、b 、c 依次为
A. 1，0，1
B. 1，0，2
C. 2，1，3
D. 2，1，4 5.已知积分区域 D ={(x , y ) || x | + | y |≤ 1 2
π
}， 2 I 1 = ⎰⎰ x d y , I 2 = ⎰⎰sin x d y , I 3 = ⎰⎰(1- cos x 2 + y 2 ) d x d y ，试比较 I , I , I 的大 1 2 3 D D D
x 2
( ) 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
⎩ 小
+ I 3 < I 2 < I 1
+ I 1 < I 2 < I 3
+ I 2 < I 1 < I 3
+ I 2 < I 3 < I 1
6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是
lim f (x ) - g (x )
= 0 的什么条件？
x →a (x - a )2
A.充分非必要条件.
B.充分必要条件.
C.必要非充分条件.
D.既非充分又非必要条件.
7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为
2. y 2 + y 2 + y 2
3. y 2 + y 2
- y 2
4. y 2 - y 2
- y 2
D. - y 2 - y 2
- y 2
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分.
2
9. lim x + 2x x
= .
x →0 ⎧x = t - sin t 3
10.曲线⎨ y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 .
f (u ) y 2 2x ∂z + y ∂z = 11.设函数 可导， z = yf ( ) ，则 .
x ∂x ∂y
π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6
⎝ ⎭ x →∞
⎰ x sin t 2 1 13.已知函数 f (x ) = x ⎰1 t dt ，则⎰0 f (x )dx = .
⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -1 1 ⎪ 14.已知矩阵 A = ⎪, A 表示 A 中（i ，j ）元的代数余子式，则 A - A = .
3
-2 2 -1⎪ ij 11 12 0 0 3 4 ⎪ 三、解答题:15~23 小题，共
94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本题满分 10 分）
⎧⎪x 2 x , x > 0 已知 f (x ) = ⎨ ⎪⎩xe x +1, x ≤0,
16.（本题满分 10 分）
求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.
求不定积分 3x + 6 (x -1)2 (x 2 + x +1) dx .
17.（本题满分 10 分）
y = y (x ) 是微分方程 y '- xy =
x 2 e 2 满足 y (1) =
e 特解.
（1）求
y (x ): （2）设平面区域 D ={(x , y )}, D ={(x , y ) |1≤x ≤2, 0≤y ≤y (x )}求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
x + y
18.已知平面区域 D 满足 x ≤y ,(x 2 + y 2 )3≤y 4 , 求 ⎰⎰ d x d y .
19.n ∈N +，S n 是 f (x ) = e x sin x , 0≤x ≤n π 的图像与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并求lim s n
20.已知函数 u (x ,y )满足2 ∂2u ∂x 2 ∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u ∂y = 0 ，求 a ，b 的值，使得在变换 u （x ，y ）=v （x ，y ）e ax+by
下，上述等式可化为
v (x ，y )不含一阶偏导数的等式。

21.已知函数 f (x , y ) 在[0,1]上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, 1
f (x )dx = 1，证明： 0
（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得
f '(ξ) = 0 ：
（2）存在η ∈(0,1) ，使得
f "(η) < -2.
⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤ 22.已知向量组（Ⅰ）α = ⎢1⎥ ,α = ⎢0⎥,α =
⎢ 2 ⎥ , 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣4⎥⎦ ⎢ ⎥ 3 ⎢⎣4⎥⎦ ⎢
⎥ ⎢⎣a 2 + 3⎥⎦
2 x ⎰ 1 D -
⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ （Ⅱ）β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β = ⎢ 3 ⎥ , 若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求 a 的取值，并将 β ， 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣a + 3⎥⎦ ⎢ ⎥ 3 ⎢⎣1- a ⎥⎦ ⎢ ⎥ 3 ⎢⎣a 2 + 3⎥⎦
用 a 1, a 2 , a 3 线性表示. ⎡-2 -2 1 ⎤
⎡2 1 0⎤ 23.已知矩形 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与 B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥
⎢ ⎥ （Ⅰ）求 x ,y ： ⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦
（Ⅱ）求可逆矩阵 P 使得 P -1AP =B。