1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的加法和数与矩阵的乘法，统称为矩阵的 线性运算。 性质：交换律、结合律、分配律、消去律 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-1
已知
1 2 A 1 1, 1 3 1 2 B 2 4, 1 3
矩阵 的列数 结果
矩阵 的行数
乘积矩阵 的行数 乘积矩阵 的列数 乘积矩阵 的 元素
矩阵 的行数 矩阵 的列数 矩阵 的第 行与
的第 列对应元素的乘积之和.
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-2 已知
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 , 2 1 1
1.1 矩阵的概念及其运算
若 A 和 B 可交换，则 A和B 为同阶方阵.
判断下述矩阵A、B是否可以交换
2 A 1 1 1 1 3 1 , B 2 0 2 1 1
不可交换
1.1 矩阵的概念及其运算
对角矩阵可与任意矩阵交换？？ 对角矩阵可与任意同阶方阵交换？？
数量矩阵
单位矩阵
En、E、I 记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵的线性运算：加、减、数乘
定义1-2 设 ， ，规定矩阵 与
a12 b12 a1n b1n a22 b22 a2 n b2 n , am 2 bm 2 amn bmn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1.1 矩阵的概念及其运算
例1-5 设矩阵 A aij nn 和 B bij nn 都是上三角阵，
C AB ，证明 C 也是上三角阵，并且 C 的对
角元 cii aiibii
i 1, 2,, n .
1.1 矩阵的概念及其运算
证明：
a11 A aii
称为
型矩阵。记作：
或
1.1 矩阵的概念及其运算
若矩阵 A和 B 的行数相同且列数也相同，则 称矩阵 A和 B 是同型矩阵，简称 A 和 B 同型。
若矩阵 A 和 B同型，并且其对应的元素 aij 和bij 都相等，则称 A 和B 相等，记作 A B 。 分 实矩阵——元素都是实数的矩阵； 类 复矩阵——元素都是复数的矩阵； 所有m n 型实矩阵的集合记作 R mn 。
a1n b11 b1 j ain B b jj ann
b1n b jn bnn
b1 j b jj 0 cij 0, , 0, aii , , ain 0 aii bii 0
a11 a 21 a m1
a11 a12 a1n i j a a22 a2 n 21 aij 0 an 2 ann a n1
i j a 11 aij 0 0 0
并且5 X A B 4 A, 求 X .
8 解： 4 5 1 2 1 2 1 1 11 13 X 9 A B 9 1 1 2 4 5 5 5 5 1 3 1 3 8 6 5
求 AB， BA 及AC .
解：
0 0 2 2 0 0 AB , BA , AC 0 0 2 2 0 0
1.1 矩阵的概念及其运算
练习：已知
1,0,,0,1 , A I T , B I 2 T ,
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-3
数 与矩阵 的乘积规定为
kA Ak kaij
即数
m n
,
与矩阵 的
与矩阵 相乘就是把数
每个元素相乘。 数乘运算对每个元素都要作用。
1.1 矩阵的概念及其运算
4 4 2 2 2 6 2 3 1
3 4 1 4 3 12 5 4 5
n 1
1.1 矩阵的概念及其运算
a11 0 0
0 a22 0
0 0 ann
对角矩阵
diag a11 , a22 , , ann 记作：
a 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Omn、O 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作：
1.1 矩阵的概念及其运算
几种特殊的矩阵
a11 , a12 , , a1n
a11 a21 am 1 a12 a1n a22 a2 n n m am 2 amn
a11 0 i j aij 0 0
特殊矩阵
矩 只有一行的矩阵称为行矩阵，1 n 型 阵 只有一列的矩阵称为列矩阵，m 1 型 的 型 n n 型矩阵称为n阶方阵
n阶方阵A中自左上角到右下角的直线称为A的主对角线，位于 主对角线上的元素称为A的对角元；自左下角到右上角的直线称 为A的副对角线。 对角元满足i=j，副对角线上元素满足i+j=n+1
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则 (3)矩阵乘法满足结合律和分配律
①
AB C A BC ; AB kA B A kB , 其中 k 为数； B C AB AC;
②k
③A
④
B C A BA CA.
1.1 矩阵的概念及其运算
线性代数
董波
数学科学学院 dongbodlut@ 大黑楼B1113
考核方式
期末考试 期中考试 平时作业 上机实验
课程内容--矩阵
线性方程组（第3、5章） 向量组的线性相关性（4、6章） 正定性（第8章） 判断矩阵 行列式（第2章） 秩（第4章） 特征值（第7章） 概念（第1章） 运算 特殊矩阵 矩阵作用
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法
1.1 矩阵的概念及其运算
定义1-4
设
，
，规定矩阵 与 的
，其中
乘积是一个为 m n 型矩阵
记作
.
C的第(i,j)个元素为A的第i行与B的第j列 对应元素乘积之和
1.1 矩阵的概念及其运算
判断下面两个矩阵能否相乘
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘积
矩阵乘法的 前提条件
i j i j
1.1 矩阵的概念及其运算
补充结论
(1)
(2)
两个同阶下三角阵的乘积仍为同阶下三角阵； 两个同阶对角阵的乘积仍为同阶对角阵，即将两 个对角阵的对角元对应相乘。
1.1 矩阵的概念及其运算
线性方程组的矩阵形式
含有m个方程n个未知数的线性方程组称为 m n 型线 性方程组。
一 般 形 式
例1-4 设矩阵
2 A 1,1, 1 , B 5 , 3
求 AB，BA 及 BA . 解： BA
20
20
BA BA B AB AB A AB BA
19
2 2 2 19 4 5 5 5 3 3 3
a12 a22 0
0 a22 an 2
0 a22 0
a1n a2 n ann
0 0 ann
0 0 ann
m 1
a11 a21 a n1
的和为
a11 b11 a21 a21 A B am1 bm1
即两个矩阵的加法就是把他们对应的元素相加。 两同型矩阵才可进行加法运算。
1.1 矩阵的概念及其运算
负矩阵 令 矩阵的减法：
A B A B
即 与 对应的元素相减。
两同型矩阵才可进行减法运算。
…….
H
实际例子：课程表
பைடு நூலகம்
定义1-1 由
A的第 i 行 第 j 列元素
个数 aij i 1, 2,, m; j 1, 2,, n
a11 a21 am1 a12 a1n a22 a2 n am 2 amn
排成的 m 行 n 列的矩形数表
与任意矩阵均可交换的矩阵不存在. 与任意方阵均可交换的矩阵只能是同阶数量矩阵. 任意两同阶对角矩阵可交换. 单位矩阵与任意同阶方阵可交换.
1.1 矩阵的概念及其运算
矩阵乘法的运算法则
(2)矩阵乘法不满足消去律
① A O时，AB AC
B C；
② AB O
A O 或 B O；
③ A O 且 B O ，但 AB 未必不为 O . 判断：设 A Rmn , 若对任意矩阵 B Rn1 , 均有 AB 0, 则A为零矩阵。
元 素 的 值
上三角矩阵：对角线下方元素为0。
下三角矩阵：对角线上方元素为0。 对角矩阵：非对角元均为0。
a0 a11 12 11 a a22 21 0 a n1 n2 a0
a 0 1n a 2n 0 0 ann nn
矩阵乘法中的单位 矩阵 E 相当于数的 乘法中的1作用类似
Em Amn Amn En Amn