Gδ集接近， 相差0测度
证明:"(1) (2)" 已知"E可测",要证
" 0,开集G，使得E G且m(G E) m*(G E) "
(a)先假定mE<+∞，由外测度定义知
0, 开集G,使得E G,且m*E | G | m*E
m* E mG | G | m * E
0, 开集G，使得G Ec且m(G Ec )
取闭集 F Gc (EC )C E
m(E F) m(E F c ) m(F c E) m(G Ec)
“(2)=>(3)”,对任意的1/n，
闭集Fn，使得E

Fn且m (E

Fn )

3)
G
型集
(至多可数个开集的交

n1
Gn
）是可测集。

4) F 型集(至多可数个闭集的并 Fn）是可测集。 n 1
5) Borel型集（从开集出发通过取余，取至多可数 次交或并运算得到的集合）是可测集。
1)开集、闭集既是 Gδ型集也是Fσ型集； 2)有理数集是Fσ型集 ,无理数集是 G型集
定理２.3.4：（从里面接近）
(1)E可测
闭集接近，相差
(2) 0,闭集F，使得F E且m*(E F) 任意小的正测度
(3)F，使得集F0 E且m*(E F0) 0
Fσ集接近， 相差0测度
证明：“(1)=>(2)”因为E可测，所以n，则F为F 型集，E F且
n 1
0

m ( E

F
)

m ( E

Fn
)

1 n
,
n

1,
2, 3,
故m(E F ) 0
“(3)=>(1)已” 知: F型集F0 E, m*(E F0 ) 0
从而(E F0 )可测,即E F0 (E F0 )为可测集
则对
1 n
, 开集Gn，使得E

Gn且m(Gn

E)

1 n

令O


n1
Gn，则O为G
型集，E

O且
0

m *(O

E)

m * (Gn

E)

1 n
,
n
1,
2, 3,
故m*(O E) 0
"(3)(1)" 已知 G型集G0 E, m*(G0 E) 0 则(G0 E)可测,E G0 (G0 E)为可测集
T
| I In | 0(n )
)
故 T , m*T=m*(T I ) m*(T I C ),即I可测
T IC
推论2.3.1--2.3.3
1)可数集（有理数、代数数、自然数、整数、 奇 数、偶数，3的整倍数）、余集可数的集（无理 数、超越数、非整数）。
2)区间、开集、闭集、 完备集、P0、G0都是可测集。
3) Gδ型集和Fσ型集都是Borel集（显然）

证明1):当F为闭集时 F Fn , 其中Fn F (n) ,所以F为Fσ集
n 1
构造Gn
{x | d (x, F )

1}为开集 n

则F= Gn为G 型集
n 1
通过取余将 Gδ型集与 Fσ型集相互转化（并与交，开集与闭集互 换）得开集也既是Gδ型集又是Fσ型集


2

0,
开集G，使得E

G且m
* (G

E)

=02
由定理２.3.4知:
0, 闭集F，使得F E且m*(E F)
2
=0 2
故闭集F,开集G满足F E G，
令G


i1
Gi
,
则G为开集，E

G，且




m(G

E)

m( i1
Gi


i1
Ei
)

m(i1(Gi


i1
Ei ))




m(i1(Gi
Ei ))

i1
m((Gi
Ei )
i1
2i

"(2) (3)"已知 0, 开集G，使得 E G且m *(G E)
证明：取 In I ,且In I , d(In , I C ) 0
T In
T , m*T m*(T (In I C ))
=m*(T In ) m*(T I C )
m* (T I ) m*(T I C )
(
m* (T I ) m* (T In )
m*[T (I In )]
定理２.3.5： 里外接近
(1)E可测
(2) 0, 闭集F,开集G满足F E G，m *(G F )
(3)F型集F0，G型集G0满足F0 E G0且m *(G0 F0 ) 0
证明： 只证“(1)=>(2)”:
因为E可测，
由定理２.3.3知:
可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是Fσ集 无理数集通过有理数集取余是Gδ集
定理２.3.3： （从外面接近）
(1)E可测 (2) 0, 开集G，使得 开集接近，相差 E G且m * (G E) 任意小的正测度
(3)G 型集G0 E, m * (G0 E) 0
《实变函数论 》
http://210.41.192.165/jp/sbhsl/index1.htm
第二章 可测集与可测函数
§2.3 可测集的结构 主讲人：魏勇
定理2.3.1：若 mE =0，则E可测
证明：T Rn
有mT m(T E) m*(T Ec ) (次可加) mE m*T m*T
因为E可测，所以m*E=mE,从而有
m*(G E) m(G E) mG mE
(b)再证当mE=+∞时，
这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：

E


i 1
Ei
其中mEi
对每个Ei应用上述（a)的结果
开集Gi，使得Ei

Gi且m(Gi

Ei )


2i

从而mT m(T E) m*(T Ec ) (两边夹)
即E为可测集。 注意:并不需要逐一列举所有集T 推论2.3.1 可数集为可测集。 复习:E可测 T Rn,有mT m(T E) m*(T Ec )
定理２.3.2： 区间 I 是可测集，且 mI | I |